volume do solido rotacionado

por **maykonnunes** » Qui Set 15, 2011 23:35

A questão deve ser resolvida por integral.

por **Neperiano** » Sex Set 16, 2011 15:31

Ola

E qual suas tentativas

Mostre o que você fez para nós sabermos sua duvida

Atenciosamente

por **maykonnunes** » Sex Set 16, 2011 18:15

Apenas tenho noção da formula $V\Omega=\pi\int_{a}^b f(x)^2dx$
e onde creio que f(x) seja a função que origina a parte hachurada, pensei em algo como $f(x)=\sqrt[]{r^2-x^2}$ , mas não sei se esta certa a função e também não sei como aplica-lá creio q o sólido seja conforme o anexo

por **Neperiano** » Sex Set 16, 2011 18:27

Ola

Você tenque conseguir as duas funções que são dos dois circulos, dai vocÊ só pega aquela parte para a equação, dai faz uma menos a outra, e calculando a integral, vocÊ consegue a area e a rotação

Atenciosamente

por **LuizAquino** » Sáb Set 17, 2011 20:00

maykonnunes,

Por favor, não poste o enunciado do exercício como uma imagem. Isso prejudica os sistemas de busca. Poste como imagem apenas o que for necessário, digitando todo o resto.

Quanto ao exercício, considere a ilustração abaixo.

: circunferências.png (3.52 KiB) Exibido 2749 vezes

Sabemos que a equação da circunferência maior é dada por x^2 + (y - b)^2 = R^2

. Como o ponto $(x,\,y_1)$ faz parte dessa circunferência, temos que $y_1 = \sqrt{R^2 - x^2} + b$ .

Por outro lado, sabemos que a equação da circunferência menor é dada por x^2 + (y - a)^2 = r^2

. Como o ponto $(x,\,y_2)$ faz parte dessa circunferência, temos que $y_2 = \sqrt{r^2 - x^2} + a$ .

Girando o ponto $(x,\,y_1)$ em torno do eixo x, a sua trajetória formará uma circunferência de raio y_1

. Portanto, a área dessa circunferência será $A_1 = \pi y_1^2 = \pi\left(\sqrt{R^2 - x^2} + b\right)^2$ .

Girando agora o ponto $(x,\,y_2)$ em torno do eixo x, a sua trajetória formará uma circunferência de raio y_2

. Portanto, a área dessa circunferência será $A_2 = \pi y_2^2 = \pi\left(\sqrt{r^2 - x^2} + a\right)^2$ .

Note que a seção transversal (perpendicular ao eixo x) do sólido em questão será uma coroa circular (ou anel) com raio externo y_2

e raio interno y_1

. A área dessa coroa em função de x será $A(x) = A_2 - A_1 = \pi\left(\sqrt{r^2 - x^2} + a\right)^2 - \pi\left(\sqrt{R^2 - x^2} + b\right)^2$ .

Dessa maneira, o volume do sólido desejado será dado por $V = 2\int_0^{r} A(x)\,dx$ .

Agora tente terminar o exercício.