[derida de função implícita] ajuda ae

por **LuizAquino** » Ter Set 13, 2011 18:12

Eu vou fazer uma delas e você tenta o restante.

Vamos considerar que y é função de x. Ou seja, podemos escrever que y = f(x).

Então a função implícita $\textrm{arccos}\,^{2}(x+y)=b$ pode ser vista como $\textrm{arccos}\,^{2}(x+f(x))=b$ .

Note que temos uma composição de três funções. Por exemplo, considere que:

g(u) = u^2

$h(v) = \textrm{arccos}\, v$

w(x) = x + f(x)

Com isso, a equação pode ser reescrita como g(h(w(x))) = b. Precisamos aplicar a regra da cadeia para calcular a derivada.

$[g(h(w(x)))]^\prime = b^\prime$

$g^\prime(h(w(x)))[h(w(x))]^\prime = 0$

$g^\prime(h(w(x)))h^\prime(w(x))[w(x)]^\prime = 0$

$g^\prime(h(w(x)))h^\prime(w(x))w^\prime(x) = 0$

Calculando a derivada de cada função separadamente, sabemos que

$g^\prime(u) = 2u$

$h^\prime(v) = -\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$

$w^\prime(x) = 1 + f^\prime(x)$

Agora, fazendo as substituições temos que:

$2\textrm{arccos}\,(x+f(x)) \left(-\frac{1}{\sqrt{1-(x + f(x))^2}}\right)(1 + f^\prime(x)) = 0$

Lembrando que y = f(x)

e $y^\prime = f^\prime(x)$ , ficamos com

$2\textrm{arccos}\,(x+y) \left(-\frac{1}{\sqrt{1-(x + y)^2}}\right)(1 + y^\prime) = 0$

Observação

Se você precisar revisar os conceitos de regra da cadeia e derivada de função implícita, então veja se as vídeo-aulas "13. Cálculo I - Regra da Cadeia" e "14. Cálculo I - Derivada de Função Implícita" podem lhe ajudar.

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