congruência

por **hatsurei** » Ter Set 13, 2011 11:09

Olá,
Estou estudando sobre congruência e nao consigo entender o assunto e nem resolver a questao abaixo:

Questão 3:
a) Ache o resto na divisão de 2^45 por 7
b) Ache o resto da divisão de 11^10 por 100
c) Mostre que 2^20-1 é divisível por 41
d) Sabendo que 402= 654(mod m), determine os possíveis valores de m.
e) Mostre que 45^10 é divisível por 5

Por favor, se alguem puder resolver e deixar o calculo para estudo para mim eu agradeço e tambem se soube de algum material que me ajude a entender o assunto ficaria muito grato mesmo.

por **ronaldoh** » Qui Jan 05, 2012 17:26

Questão 3:
a) Ache o resto na divisão de 2^45 por 7
Ora, se 2^3 $\equiv$ 1 mod 7, então 2^3^15 $\equiv$ 1^15 mod 7.
Portanto o resto é 1^15, ou simplesmente 1.

b)Resolução:
1110 – 1 = (11 – 1)(119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1) => 11^10 – 1 = 10.(119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1)
Basta provar que (119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1) é divisível por 10.
=>11 $\equiv$ 1 (mod. 10) => 1 $\equiv$ 11 $\equiv$ 112 $\equiv$ 113 $\equiv$ 114 $\equiv$ ... $\equiv$ 118 $\equiv$ 119 $\equiv$ 1 (mod. 10)
Somando temos: 119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1 º 1 + 1 + 1 + ... + 1 (mod. 10) =>
119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1 $\equiv$ 10 (mod. 10) => 119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1 $\equiv$ 0 (mod. 10)
portanto o resto é 0.

c) 27 = 128 = 3.41 + 5 => 27 $\equiv$ 5 (mod. 41) => 2^3.2^7 $\equiv$ 2^3.5 (mod. 41) => 210^ $\equiv$ 40 (mod. 41) =>
2^10 $\equiv$ – 1 (mod. 41) => (210)^^2 $\equiv$ (– 1)2 (mod. 41) => 220^ $\equiv$ 1 (mod. 41) $\equiv$ 41 | 220 – 1

e) se 45 $\equiv$ 0 mod 5, então 45^10 $\equiv$ 5^10 mod 5. Mas evidentemente 5 | 5^10

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