[Integrais] Preciso de ajuda com esse cálculo...

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[Integrais] Preciso de ajuda com esse cálculo...

Mensagempor phvicari » Sáb Set 03, 2011 04:40

Olá pessoal, tudo bem?

Esse é meu primeiro tópico, então desculpe qualquer erro...

Gostaria de pedir ajuda a vocês para resolver esse exercício:


f(a)=\int\limits_{0}^2~|x(x-a)|dx , Com a variando de: 0\leq a\leq 2


I) Encontrar f(a)
II) Encontrar o mínimo de f(a)

Obrigado desde já...
Editado pela última vez por phvicari em Sáb Set 03, 2011 16:30, em um total de 1 vez.
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Re: [Integrais] Preciso de ajuda com esse cálculo...

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Set 03, 2011 15:52

Quais foram suas tentativas?
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Re: [Integrais] Preciso de ajuda com esse cálculo...

Mensagempor phvicari » Sáb Set 03, 2011 21:06

Na verdade estou com duvida em como começar a resolver, porque pelo que eu entendi o a e o x variam entre 0 e 2, mas a função em si, depende do parâmetro a e não do x, por isso fiquei meio confuso em resolver esse exercício.

OBS: a resposta que preciso chegar é f(a)=\frac{1}{3}a^3-2a+\frac{8}{3}
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Re: [Integrais] Preciso de ajuda com esse cálculo...

Mensagempor LuizAquino » Dom Set 04, 2011 13:30

Veja que no integrando há uma função modular. Precisamos então analisar o módulo.

O exercício informa que 0\leq a\leq 2 .

Se a = 0, veja que não importa o valor de x teremos que |x(x - a)| = \left|x^2\right| = x^2 .

Desse modo, teremos que:

f(0) = \int_0^2 x^2 \,dx = \frac{8}{3}

Considere agora que 0 < a \leq 2 .

Aplicando a definição de módulo no integrando, temos que:

|x(x - a)| = \begin{cases} x(x - a),\textrm{ se } x(x - a) \geq 0 \\ -x(x - a),\textrm{ se } x(x - a) < 0 \end{cases}

Analisando o sinal de x(x - a), lembrando-se que estamos considerando 0 < a \leq 2, temos que

|x(x - a)| = \begin{cases} x(x - a),\textrm{ se } x \leq 0 \textrm{ ou } x \geq a\\ -x(x - a),\textrm{ se } 0 < x < a \end{cases}

Isso significa que podemos reescrever a integral como:

f(a) = \int_0^2 |x(x-a)| \, dx = \int_0^a -x(x-a) \, dx + \int_a^2 x(x-a) \, dx

Agora tente terminar o exercício.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.

Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:

Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?


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