[Integrais] Preciso de ajuda com esse cálculo...

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[Integrais] Preciso de ajuda com esse cálculo...

Mensagempor phvicari » Sáb Set 03, 2011 04:40

Olá pessoal, tudo bem?

Esse é meu primeiro tópico, então desculpe qualquer erro...

Gostaria de pedir ajuda a vocês para resolver esse exercício:


f(a)=\int\limits_{0}^2~|x(x-a)|dx , Com a variando de: 0\leq a\leq 2


I) Encontrar f(a)
II) Encontrar o mínimo de f(a)

Obrigado desde já...
Editado pela última vez por phvicari em Sáb Set 03, 2011 16:30, em um total de 1 vez.
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Re: [Integrais] Preciso de ajuda com esse cálculo...

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Set 03, 2011 15:52

Quais foram suas tentativas?
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Re: [Integrais] Preciso de ajuda com esse cálculo...

Mensagempor phvicari » Sáb Set 03, 2011 21:06

Na verdade estou com duvida em como começar a resolver, porque pelo que eu entendi o a e o x variam entre 0 e 2, mas a função em si, depende do parâmetro a e não do x, por isso fiquei meio confuso em resolver esse exercício.

OBS: a resposta que preciso chegar é f(a)=\frac{1}{3}a^3-2a+\frac{8}{3}
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Re: [Integrais] Preciso de ajuda com esse cálculo...

Mensagempor LuizAquino » Dom Set 04, 2011 13:30

Veja que no integrando há uma função modular. Precisamos então analisar o módulo.

O exercício informa que 0\leq a\leq 2 .

Se a = 0, veja que não importa o valor de x teremos que |x(x - a)| = \left|x^2\right| = x^2 .

Desse modo, teremos que:

f(0) = \int_0^2 x^2 \,dx = \frac{8}{3}

Considere agora que 0 < a \leq 2 .

Aplicando a definição de módulo no integrando, temos que:

|x(x - a)| = \begin{cases} x(x - a),\textrm{ se } x(x - a) \geq 0 \\ -x(x - a),\textrm{ se } x(x - a) < 0 \end{cases}

Analisando o sinal de x(x - a), lembrando-se que estamos considerando 0 < a \leq 2, temos que

|x(x - a)| = \begin{cases} x(x - a),\textrm{ se } x \leq 0 \textrm{ ou } x \geq a\\ -x(x - a),\textrm{ se } 0 < x < a \end{cases}

Isso significa que podemos reescrever a integral como:

f(a) = \int_0^2 |x(x-a)| \, dx = \int_0^a -x(x-a) \, dx + \int_a^2 x(x-a) \, dx

Agora tente terminar o exercício.
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1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

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1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59

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