[Integrais] Preciso de ajuda com esse cálculo...

por **phvicari** » Sáb Set 03, 2011 04:40

Olá pessoal, tudo bem?

Esse é meu primeiro tópico, então desculpe qualquer erro...

Gostaria de pedir ajuda a vocês para resolver esse exercício:

$f(a)=\int\limits_{0}^2~|x(x-a)|dx$ , Com

variando de: $0\leq a\leq 2$

I) Encontrar f(a)

II) Encontrar o mínimo de f(a)

Obrigado desde já...

por **MarceloFantini** » Sáb Set 03, 2011 15:52

Quais foram suas tentativas?

por **phvicari** » Sáb Set 03, 2011 21:06

Na verdade estou com duvida em como começar a resolver, porque pelo que eu entendi o

e o

variam entre 0 e 2, mas a função em si, depende do parâmetro

e não do

, por isso fiquei meio confuso em resolver esse exercício.

OBS: a resposta que preciso chegar é $f(a)=\frac{1}{3}a^3-2a+\frac{8}{3}$

por **LuizAquino** » Dom Set 04, 2011 13:30

Veja que no integrando há uma função modular. Precisamos então analisar o módulo.

O exercício informa que $0\leq a\leq 2$ .

Se a = 0, veja que não importa o valor de x teremos que $|x(x - a)| = \left|x^2\right| = x^2$ .

Desse modo, teremos que:

$f(0) = \int_0^2 x^2 \,dx = \frac{8}{3}$

Considere agora que $0 < a \leq 2$ .

Aplicando a definição de módulo no integrando, temos que:

$|x(x - a)| = \begin{cases} x(x - a),\textrm{ se } x(x - a) \geq 0 \\ -x(x - a),\textrm{ se } x(x - a) < 0 \end{cases}$

Analisando o sinal de x(x - a), lembrando-se que estamos considerando $0 < a \leq 2$ , temos que

$|x(x - a)| = \begin{cases} x(x - a),\textrm{ se } x \leq 0 \textrm{ ou } x \geq a\\ -x(x - a),\textrm{ se } 0 < x < a \end{cases}$

Isso significa que podemos reescrever a integral como:

$f(a) = \int_0^2 |x(x-a)| \, dx = \int_0^a -x(x-a) \, dx + \int_a^2 x(x-a) \, dx$

Agora tente terminar o exercício.