Limite fundamental

por **matmatco** » Qui Set 01, 2011 11:04

olá, estou com dificuldade em resolver esse limite:

$\lim_{x}\frac{{\epsilon}^{ax}-{\epsilon}^{bx}}{senax-senbx}$ ( lembrando o x está tendendo a zero)

tentei dividir tudo por senax+senbx mas não consegui, tentei fazendo $\frac{\left({\epsilon}^{ax}-1 \right)-\left({\epsilon}^{bx}-1 \right)}{senax-senbx}$ mas não consegui sair disso alguem me explique como resolver obrigado.

por **LuizAquino** » Qui Set 01, 2011 12:34

Dicas

Eu presumo que a ideia seja resolver esse limite sem usar a Regra de L'Hospital. Para isso, comece usando as sugestões abaixo.

No numerador escreva $(e^{ax} - 1) - (e^{bx} - 1)$ .

Já no denominador, use a identidade trigonométrica $\textrm{sen}\,p - \,\textrm{sen}\,q = 2\,\textrm{sen}\,\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)$ .

Em seguida, tente dividir o numerador e o denominador por uma expressão de modo a fazer aparecer o limite trigonométrico fundamental.

Além disso, veja as ideias discutidas no tópico abaixo. Você vai precisar aplicar uma estratégia semelhante.
[limite] Ajuda com limite!
viewtopic.php?f=120&t=5769#p19973

Tente terminar o exercício. Se você não conseguir, poste aqui até onde você conseguiu desenvolver com essas dicas.

por **matmatco** » Qui Set 01, 2011 16:12

usei a identidade e encontrei uma resposta igual a 2, ai voltando ao limite ficou

x está tendendo a zero

$\frac{\lim_{x}\left({\epsilon}^{ax}- 1 \right)- \left({\epsilon}^{bx} - 1 \right)}{2}$ = $\frac{{\lim_{x}\left({\epsilon}^{a}-1 \right)}^{x}-{\left( {\epsilon}^{b}-1\right)}^{x}}{2}$ = $\lim_{x}\left( \frac{{\epsilon}^{ax}-{1}^{x}}{2}\right)-\left( \frac{{\epsilon}^{bx}-{1}^{x}}{2}\right)$

ai fiquei com duvida se eu posso fazer esses dois ultimos passos ...

por **LuizAquino** » Qui Set 01, 2011 17:13

matmatco escreveu:usei a identidade e encontrei uma resposta igual a 2, ai voltando ao limite ficou
$\frac{\lim_{x}\left({\epsilon}^{ax}- 1 \right)- \left({\epsilon}^{bx} - 1 \right)}{2}$

Não fica somente isso.

Nós temos que:

$\lim_{x\to 0}\frac{({e}^{ax} - 1) - ({e}^{bx} - 1)}{\textrm{sen}\,ax - \,\textrm{sen}\,bx} = \lim_{x\to 0}\frac{({e}^{ax} - 1) - ({e}^{bx} - 1)}{2\,\textrm{sen}\,\left[\frac{(a-b)x}{2}\right]\cos\left[\frac{(a+b)x}{2}\right]}$

Dividindo o numerador e o denominador por $\frac{(a-b)x}{2}$ (lembrando que devemos ter $a\neq b$ ), ficamos com

$\lim_{x\to 0}\frac{({e}^{ax} - 1) - ({e}^{bx} - 1)}{\textrm{sen}\,ax - \,\textrm{sen}\,bx} = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{({e}^{ax} - 1) - ({e}^{bx} - 1)}{\frac{(a-b)x}{2}}}{\frac{2\,\textrm{sen}\,\left[\frac{(a-b)x}{2}\right]\cos\left[\frac{(a+b)x}{2}\right]}{\frac{(a-b)x}{2}}} = \frac{1}{a-b} \lim_{x\to 0}\frac{({e}^{ax} - 1) - ({e}^{bx} - 1)}{x}$

Podemos então escrever que:

$\lim_{x\to 0}\frac{({e}^{ax} - 1) - ({e}^{bx} - 1)}{\textrm{sen}\,ax - \,\textrm{sen}\,bx} = \frac{1}{a-b}\left(\lim_{x\to 0}\frac{{e}^{ax} - 1}{x} - \lim_{x\to 0}\frac{{e}^{bx} - 1}{x}\right)$

Para continuar a resolução, veja a estratégia usada no tópico que indiquei acima.

Observação 1
Para inserir o "x tendendo a zero" no limite, use o comando LaTeX:

Código: Selecionar todos: x \to 0

O resultado desse comando é: $x \to 0$ .

Ou seja, para ter algo como $\lim_{x\to a} f(x)$ , usamos o comando LaTeX:

Código: Selecionar todos: \lim_{x\to a} f(x)

Observação 2

Vale lembrar também que é falsa a equação: $e^{ax} - 1 = \left(e^{a}-1 \right)^x$ .

por **nietzsche** » Sex Set 02, 2011 00:34

luiz,
se a= 0 a observação 2 é correta.

por **LuizAquino** » Sex Set 02, 2011 08:30

nietzsche escreveu:luiz,
se a= 0 a observação 2 é correta.

De fato. Mas vale lembrar que apenas para x diferente de zero. Note que se a = x = 0 teríamos uma operação inválida no segundo membro.

por **matmatco** » Qui Set 08, 2011 10:19

olá,
encontrei uma maneira mais facil e rapida de resolver , se dividir tudo por x encontramos direto a parte $\lim_{x\to 0}\frac{\left({\epsilon}^{ax}-1 \right)\left({\epsilon}^{bx}-1 \right)}{x}$ ae já está resolvido o problema

obs: postarei a resolução completa na proxima

obrigado pela ajuda abraços