Função Real

por **jcvalim** » Qua Ago 24, 2011 11:39

Considere a função real f definida por $f(x) = 3 + {2}^{x-1}$ , sendo g de A a sua inversa. Considere também as seguintes afirmativas. Verifique as falsas e as verdadeiras, justificando sua resposta.

a) a imagem de f é A.
b) o gráfico de f está acima da reta y = 4
c) $g(\frac{11}{2}) = {Log}_{2}5$
d) Se f (h(x)) = 3 + 2x então h(¼) = 0
e) O gráfico da função g intercepta o eixo x no ponto (1,0)
f) O conjunto solução da inequação $f(2x+1) < 1 + 3 . {2}^{x}$ é o intervalo ]0,1[

Se faz necessario as soluções de cada resposta.

A primeira eu fiz e sei que é Falsa pois A não pode ser imagem de f, pois se A é a função então A é o dominio então a imagem será B.

$A \rightarrow B$

Obrigado, a todos!!!

por **MarceloFantini** » Qua Ago 24, 2011 13:47

Note que o maior domínio possível de f é $\mathbb{R}$ , enquanto que sua imagem é $(3, + \infty)$ . Portanto, sua inversa será definida: $g: \, (3, + \infty) \to \mathbb{R}$ , portanto a primeira é falsa. Seu argumento não é válido pois é possível ter uma função com domínio e imagem iguais. Vamos encontrar a função inversa:

$f(x) = 3 + 2^{x-1} \implies f(x) -3 = 2^{x-1} \implies 2(f(x) -3) = 2^x$
$\implies x = \log_2 2(f(x) - 3) = 1 + \log_2 (f(x) -3)$

Verifique as afirmações. A letra b é falsa, pois tome x=0

, temos $f(0) = 3 + 2^{0-1} = 3 + 2^{-1} = 3,5 < 4$ e portanto o gráfico de f não está acima da reta y=4 (existem outros pontos, foi para ilustrar, mesmo porque o conjunto imagem demonstra que há infinitos pontos abaixo da reta).

Tente fazer as outras letras.

por **jcvalim** » Qua Ago 24, 2011 16:48

Mas no caso da letra B se eu tomasse o X=2, eu poderia utilizar o X sendo < que 2?

por **MarceloFantini** » Qua Ago 24, 2011 16:50

Note que

não é contra-exemplo, uma vez que $f(2) = 3+2^{2-1} = 3+2 = 5$ e está acima da reta y=4

. Mesmo tomando x<2

, o seu exemplo não garante que existam pontos do gráfico abaixo da reta.

por **jcvalim** » Qua Ago 24, 2011 17:26

MarceloFantini escreveu:Note que não é contra-exemplo, uma vez que $f(2) = 3+2^{2-1} = 3+2 = 5$ e está acima da reta . Mesmo tomando , o seu exemplo não garante que existam pontos do gráfico abaixo da reta.

Entendi agora.
Só mais uma coisa poderia me dar um auxilio com essa questão que envolve o logaritmo, pois estou travado nela. As outras da para desenrolar. A letra C

Obrigado!!!