Número de divisores e Sistemas de Numeração

por **Gustavo R** » Sáb Ago 13, 2011 18:05

1) Calcule m, sabendo-se que o número ${2}^{m}\times {6}^{m+1}$ admite 24 divisores naturais. r: m=2

pelos meus cálculos:

${2}^{m}\times {2}^{m+1}\times {3}^{m + 1}= 24$

(m+1) (m+2) (m+2) = 24 É a partir daqui que eu tive várias dúvidas...

2) Um número natural se escreve 213 e 124 em duas bases distintas e consecutivas. Obtenha ese número no sistema decimal. r: 39

Nessa questão eu não consegui prosseguir...

Galera, se alguém souber, dá uma ajuda.. Obrigado e até mais!

por **Molina** » Ter Ago 16, 2011 15:29

Boa tarde, Gustavo.

Gustavo R escreveu:1) Calcule m, sabendo-se que o número ${2}^{m}\times {6}^{m+1}$ admite 24 divisores naturais. r: m=2

pelos meus cálculos:

${2}^{m}\times {2}^{m+1}\times {3}^{m + 1}= 24$

(m+1) (m+2) (m+2) = 24 É a partir daqui que eu tive várias dúvidas...

Você pode utilizar de um macete para não cair nesta equação de terceiro grau, veja:

${2}^{m}\times {6}^{m+1} = {2}^{m}\times {2}^{m+1} \times {3}^{m+1} = {2}^{2m+1}\times {3}^{m+1}$

Agora proceda como você havia feito e encontrará a resposta.

Qualquer dúvida, avise! :y:

por **Gustavo R** » Ter Ago 16, 2011 16:27

entendi, Molina! obrigado! E se vc puder me dar uma força na questão 2, eu tmb agradeço. eu estou tendo dúvidas nela.Trata-se de sistemas de numeração.
Até mais!

por **Molina** » Qua Ago 17, 2011 22:55

Boa noite, Gustavo.

Gustavo R escreveu:2) Um número natural se escreve 213 e 124 em duas bases distintas e consecutivas. Obtenha ese número no sistema decimal. r: 39

Eu pensei assim: se eles são de bases diferentes e consecutivas, significa que no 213 a base é 4 e no 124 a base é 5, já que num número na base n o maior algarismo é n-1. E fazendo isso vi que deu certo, veja:

$213_{(4)}=3 \cdot 4^0 + 1 \cdot 4^1 + 2 \cdot 4^2 = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 16 = 3 + 4 + 32 = 39_{(10)}$

e

$124_{(5)}=4 \cdot 5^0 + 2 \cdot 5^1 + 1 \cdot 5^2 = 4 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 1 \cdot 25 = 4 + 10 + 25 = 39_{(10)}$

Legal a questão :y:

por **Gustavo R** » Sáb Ago 20, 2011 19:05

Molina escreveu:Boa noite, Gustavo.

Gustavo R escreveu:2) Um número natural se escreve 213 e 124 em duas bases distintas e consecutivas. Obtenha ese número no sistema decimal. r: 39

Eu pensei assim: se eles são de bases diferentes e consecutivas, significa que no 213 a base é 4 e no 124 a base é 5, já que num número na base n o maior algarismo é n-1. E fazendo isso vi que deu certo, veja:

$213_{(4)}=3 \cdot 4^0 + 1 \cdot 4^1 + 2 \cdot 4^2 = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 16 = 3 + 4 + 32 = 39_{(10)}$

e

$124_{(5)}=4 \cdot 5^0 + 2 \cdot 5^1 + 1 \cdot 5^2 = 4 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 1 \cdot 25 = 4 + 10 + 25 = 39_{(10)}$

Legal a questão

td bem mas como se faz para chegar nessas duas bases sem saber q a resposta é 39? até mais!

por **Molina** » Sáb Ago 20, 2011 19:16

Revendo esta questão percebi que dava pra montar um sistema com ela, veja:

Seja x a base de 213 e (x+1) a base de 124. Lembre-se que elas são consecutivas:

$\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle 3 \cdot x^0 + 1 \cdot x^1 + 2 \cdot x^2 \\ \displaystyle 4 \cdot (x+1)^0 + 2 \cdot (x+1)^1 + 1 \cdot (x+1)^2 \end{array} \right$

Ajeitando isso aí de cima:

$\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle 3 + x + 2x^2 \\ \displaystyle 4 + 2x + 2 + x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x + 7 \end{array} \right$

Como elas são iguais podemos igualá-las:

3 + x + 2x^2 = x^2 + 4x + 7

Cuja as raízes são 4 e -1. Como a base é positiva, eliminamos o -1 e ficamos apenas com o 4 (que é a base). :y:

por **MarceloFantini** » Sáb Ago 20, 2011 19:33

Acredito que pelo sistema é a melhor forma, pois note que 23 escrito em base 7 é 32, porém nenhum dos seus algarimos é 6. Esta forma de raciocinar daria errado com este exemplo.

por **Molina** » Sáb Ago 20, 2011 19:45

MarceloFantini escreveu:Acredito que pelo sistema é a melhor forma, pois note que 23 escrito em base 7 é 32, porém nenhum dos seus algarimos é 6. Esta forma de raciocinar daria errado com este exemplo.

Sim, sim, sim. Percebi que meu chute deu certo por mera coincidência. :y:

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