Limite- Continuidade em intervalos

por **killerkill** » Sáb Ago 13, 2011 02:25

Para saber se há continuidade em um valor a, os limites laterais devem ser iguais a função definida em a. Isto é:
$\lim_{x\rightarrow a}= f(a)$
Mais a minha dúvida é quanto à continuidade em intervalos [a,b].
Supomos que a<b, até onde eu sei, devo analisar da seguinte maneira:
$\lim_{x\rightarrow a+}=f(a)$

e

$\lim_{x\rightarrow b-}=f(b)$

Até esse ponto do raciocínio eu intendo, mais eu fico pensando no seguinte: oque me garante que entre a e b não existe um valor tal que f(x) não seja contínua?
Outra pequena dúvida, se o intervalo fosse ]a,b[ eu deveria analisar assim:

$\lim_{x\rightarrow a^+}\neq f(a)$

e

$\lim_{x\rightarrow b^-}\neq f(b)$

Correto?

por **LuizAquino** » Sáb Ago 13, 2011 22:04

killerkill escreveu:o que me garante que entre a e b não existe um valor tal que f(x) não seja contínua?

O que vai lhe garantir é o conhecimento da função em questão.

Por exemplo, você sabe que uma reta é continua em todo o seu domínio.

Por exemplo, a função f(x) = x + 1

é contínua em todo o $\mathbb{R}$ .

Imagine agora que você vai tomar outra função que é um "pedaço" de f. Por exemplo, $g : [-1,\,1] \to \mathbb{R}$ tal que g(x) = x + 1

. Naturalmente g será contínua em [-1, 1].

Vejamos agora outro exemplo. Considere a função $f(x) = \frac{1}{x}$ , que como você sabe é contínua em todo o $\mathbb{R}^*$ .

Se você tomar o "pedaço" de f dado por $g : [1,\,2] \to \mathbb{R}$ tal que $g(x) = \frac{1}{x}$ , então g é contínua em [1, 2].

Por outro lado, se você tomar o "pedaço" dado por $h : [-1,\,1] \to \mathbb{R}$ tal que $h(x) = \frac{1}{x}$ , então h não é contínua em todo o [-1, 1].

killerkill escreveu:Outra pequena dúvida, se o intervalo fosse ]a,b[ eu deveria analisar assim:

$\lim_{x\rightarrow a^+}\neq f(a)$

e

$\lim_{x\rightarrow b^-}\neq f(b)$

Correto?

Está incorreto. O que você deve verificar é se para todo $c\in]a,\,b[$ é valido que $\lim_{x\to c}f(x) = f(c)$ .

Voltando aos exemplos anteriores, note que:
(i) $g : ]-1,\,1[ \to \mathbb{R}$ definida por g(x) = x + 1

é contínua em ]-1, 1[;

(ii) $h : ]-1,\,1[ \to \mathbb{R}$ definida por $h(x) = \frac{1}{x}$ não é contínua em todo o ]-1, 1[.

por **killerkill** » Dom Ago 14, 2011 00:18

Entendi , muito obrigado Luiz! =D

por **killerkill** » Dom Ago 14, 2011 00:31

Luiz, aproveitando esse tópico, seria correto eu responder tal exercício dessa forma da seguinte forma?
Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado:
$f(x)=\frac{2x+3}{x-2}$

$\left(2,\infty \right)$

A função f(x) é contínua no intervalo $\left(2,\infty \right)$ se for contínua em todos os números do seu intervalo. O único valor em f(x) em que f nao é contínua é em x=2, pois $x-2\neq0$ .
Logo, no intervalo aberto dado, f(x) é contínua.

Essa seria minha resposta. mais sinto um pouco teórica demais, poderia me ajudar a me expressar de outra maneira?

por **LuizAquino** » Dom Ago 14, 2011 12:37

killerkill escreveu:Essa seria minha resposta. mais sinto um pouco teórica demais, poderia me ajudar a me expressar de outra maneira?

Em primeiro lugar, não há problema em ser teórico.

Em segundo lugar, veja o que o exercício pede (e você não fez):

"Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado (...)"

Isso significa que você precisa tomar $c\in (2,\,+\infty)$ e usando as propriedades de limites mostrar que $\lim_{x\to c} f(x) = f(c)$ .

por **killerkill** » Qua Ago 17, 2011 21:59

Então, eu só consegui pensar em fazer essa questão dessa maneira:
Sendo $c \in (2,\infty)$ então $\lim_{x\rightarrow c} f(x)=f(c)$ . Logo:

$\lim_{x\rightarrow c}f(x)= f(c)$

$\lim_{x\rightarrow c} \frac{2x+3}{x-2}=\frac{\lim_{x\rightarrow c }2x+\lim_{x\rightarrow c}3}{\lim_{x\rightarrow c}x-\lim_{x\rightarrow c}2}= \frac{2c+3}{c-2}= f(c)$
Portanto, a função f(x) é contínua no intervalo dado.

Estaria correto essa resposta?
Apliquei as propriedade dos limites. Mais me veio uma outra dúvida, no caso de uma função g(x) não ser contínua num dado intervalo. você tem algum exemplo ?
Grato.=D

por **LuizAquino** » Qua Ago 17, 2011 22:57

killerkill escreveu: $\lim_{x\rightarrow c} \frac{2x+3}{x-2}=\frac{\lim_{x\rightarrow c }2x+\lim_{x\rightarrow c}3}{\lim_{x\rightarrow c}x-\lim_{x\rightarrow c}2}= \frac{2c+3}{c-2}= f(c)$
Portanto, a função f(x) é contínua no intervalo dado.

Estaria correto essa resposta?