como resolver a integral de y² . e^y²

por **Anniinha** » Ter Ago 16, 2011 18:57

Pessoal eu estou com dúvidas quanto a resolução dessa integral: $f(x)= \int_{-\infty}^{+\infty}{e}^{{-y}^{2}}.{y}^{2}dy$

eu sei que se resolve por integração por partes!

mas ja fiz com u sendo o ${e}^{{y}^{2}}$ e u sendo ${y}^{2}$ e não consigo resolver! a resposta é $\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}{e}^{{-y}^{2}}dy$

por **Neperiano** » Ter Ago 16, 2011 19:59

Ola

O u é e^y^-2

Você pode demonstrar seus passos para vermos o que errou, porque pode ser na hora de derivar o u, ou de integrar o dv.

Atenciosamente

por **Anniinha** » Ter Ago 16, 2011 21:01

$u={e}^{{-y}^{2}}\Rightarrow du=-2y{e}^{{-y}^{2}}; dv={y}^{2}\Rightarrow v=\frac{{y}^{3}}{3} fazendo \int_{}^{}udv = u.v -\int_{}^{}v du$
entao:
$\int_{-\infty}^{\infty}{e}^{{-y}^{2}}.{y}^{2}={e}^{{-y}^{2}}.\frac{{y}^{3}}{3} - \int_{-\infty}^{\infty}\frac{{y}^{3}}{3}.(-2y{e}^{{-y}^{2}}) dy$
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$\int_{-\infty}^{\infty}{e}^{{-y}^{2}}.{y}^{2}=({e}^{{-y}^{2}}.\frac{{y}^{3}}{3} variando.de.-\infty a\infty) + \frac{2}{3}\int_{-\infty}^{\infty}{y}^{3}.{e}^{{-y}^{2}}dy$

se continuar assim (fazendo u = y²) o segundo termo vai evoluir para $\int_{-\infty}^{\infty}{y}^{4}.{e}^{{-y}^{2}}dy$ e depois $\int_{-\infty}^{\infty}{y}^{5}.{e}^{{-y}^{2}}dy$ num ciclo sem fim..
mas se fizer u= y² vamos ter q integrar o ${e}^{{-y}^{2}}$ o que me deixou sem saída.. alguem pode me ajudar?

por **MarceloFantini** » Ter Ago 16, 2011 23:09

Você está errando a integração. Na verdade o fator que deve ser escolhido como derivado é $\texrm{d}v = ye^{-y^2} \, \textrm{d}y$ e não $y \, \textrm{d}y$ . Tente fazer essa mudança.

por **Anniinha** » Ter Ago 16, 2011 23:22

para $dv=y{e}^{{-y}^{2}}$ tenho entao q $v=\int_{}^{}y{e}^{{-y}^{2}}$ ai faz a integração normal sem os limites por enquanto??
e agora eu devo fazer u=y ou $u={e}^{{-y}^{2}}$

por **MarceloFantini** » Ter Ago 16, 2011 23:26

Com $v = \int y e^{-y^2} \, \textrm{d}y = - \frac{e^{-y^2}}{2} + C_1$ . Lembre-se que sempre é possível fazer uma integral indefinida, encontrar a primitiva e apenas depois voltar a integral normal colocando-se limites de integração e igualando à primitiva avaliada nos limites dados.

por **Anniinha** » Ter Ago 16, 2011 23:54

vou tentar aqui qq coisa eu aviso, nao suma usahsu =p

por **Anniinha** » Qua Ago 17, 2011 00:18

deu certo!!!!!! OBRIGADA! maaaaas tem umas passagens q eu nao entendi.. primeiro que eu nao consigo chegar a resolução dessa integral

MarceloFantini escreveu:Com $v = \int y e^{-y^2} \, \textrm{d}y = - \frac{e^{-y^2}}{2} + C_1$ . Lembre-se que sempre é possível fazer uma integral indefinida, encontrar a primitiva e apenas depois voltar a integral normal colocando-se limites de integração e igualando à primitiva avaliada nos limites dados.

q vc fez.. eu tava errando aí mesmo pq essa integral sem o y vai ser a integral de gauss neh isso? q vai ser a raiz de pi.. e depois eu sei q isso: $-y.\frac{{e}^{{-y}^{2}}}{2}$ variando de $-\infty a \infty$ é zero.. mas eu tambem nao entendo o porque.. ja que fica assim: $=-\frac{1}{2}\left(\infty.{e}^{-\infty}-\left(-\infty{e}^{\infty}\right) \right =-\frac{1}{2}\left(0+\infty \right)=\infty$

por **MarceloFantini** » Qua Ago 17, 2011 00:31

Isso não é a integral de Gauss. Segundo, por substituição verá que a integral sai facilmente. Terceiro, CUIDADO! O que você fez foi um abuso de notação erroneamente, note que a integral avaliada de menos infinito a mais infinito significa $\frac{-e^{-y^2}}{2} \bigg\vert_{- \infty}^{\infty} = 0$ e não o integrando.

por **Anniinha** » Qua Ago 17, 2011 00:53

Entendi TUDO! Muito obrigada!!! :-D

por **LuizAquino** » Qua Ago 17, 2011 17:25

Primeiro, vale destacar que a integral $\int_{-\infy}^{+\infty} y^2 e^{-y^2}\,dy$ é chamada de Integral Imprópria.

Vejamos a solução de maneira apropriada.

Para resolvê-la, é necessário calcular os limites:

$\int_{-\infty}^{+\infty} y^2 e^{-y^2} dy = \lim_{t\to -\infty} \int_t ^ 0 y^2 e^{-y^2}\,dy + \lim_{t\to +\infty} \int_0 ^ t y^2 e^{-y^2}\,dy$

Utilizando a sugestão de Fantini, obtemos que:

$\int_t^0 y^2e^{-y^2}\,dy = \left[-\frac{y}{2}e^{-y^2}\right]_t^0 - \int_t^0 -\frac{1}{2} e^{-y^2}\,dy$

$\int_0^t y^2e^{-y^2}\,dy = \left[-\frac{y}{2}e^{-y^2}\right]_0^t - \int_0^t -\frac{1}{2} e^{-y^2}\,dy$

Substituindo isso nos limites, ficamos com:
$\lim_{t\to -\infty} \int_t ^ 0 y^2 e^{-y^2}\,dy = \lim_{t\to -\infty} \left(\frac{t}{2}e^{-t^2} + \frac{1}{2}\int_t^0 e^{-y^2} \,dy \right)$

$\lim_{t\to +\infty} \int_0 ^ t y^2 e^{-y^2}\,dy = \lim_{t\to +\infty} \left(-\frac{t}{2}e^{-t^2} + \frac{1}{2}\int_0^t e^{-y^2} \,dy \right)$

Mas aplicando a Regra de L'Hospital, obtemos que:

$\lim_{t\to -\infty} \frac{t}{2}e^{-t^2} = 0$

$\lim_{t\to +\infty} -\frac{t}{2}e^{-t^2} = 0$

Desse modo, ficamos apenas com

$\lim_{t\to -\infty} \int_t ^ 0 y^2 e^{-y^2}\,dy = \frac{1}{2} \lim_{t\to -\infty} \int_t^0 e^{-y^2} \,dy$

$\lim_{t\to +\infty} \int_0 ^ t y^2 e^{-y^2}\,dy = \frac{1}{2} \lim_{t\to +\infty} \int_0^t e^{-y^2} \,dy$

Unindo todas as informações, teremos que
$\int_{-\infty}^{+\infty} y^2 e^{-y^2} dy = \frac{1}{2} \lim_{t\to -\infty} \int_t^0 e^{-y^2} \,dy + \frac{1}{2} \lim_{t\to +\infty} \int_0^t e^{-y^2} \,dy = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} \,dy$

Observação

MarceloFantini escreveu:Lembre-se que sempre é possível fazer uma integral indefinida, encontrar a primitiva e apenas depois voltar a integral normal colocando-se limites de integração e igualando à primitiva avaliada nos limites dados

Nem sempre é possível resolver analiticamente a integral indefinida! A integral indefinida $\int e^{-y^2} \,dy$ é um exemplo disso. Leia um pouco sobre isso em:
http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral