Limite- Duvida de gráfico

por **killerkill** » Sex Ago 12, 2011 23:10

Olá pessoal, é o seguinte, chega mais um final de semana. Mais 2 dias "free" pra estudar.
Mais a minha dúvida é a seguinte. Tem a seguinte questão:
Explique porque a função é descontínua num dado numero a, e esboce o gráfico:

a=3

$f(x)= \left{6$ se x=3

e

$f(x)= \frac{2x^2-5x-3}{x-3}$

se $x\neq3$

Vou explicar minha resolução:

Sendo a continuidade a ser analizada no valor a=3, é possível afirmar que f(3)=6.

e

Quando $f(x)\neq3$ $f(x)= \frac{2x^2-5x-3}{x-3}$

então, $\lim_{x\rightarrow a} \frac{2x^2-5x-3}{x-3}= \frac{2a^2-5a-3}{a-3}=\frac{2(a+\frac{1}{2})(a-3)}{(a-3)}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 3}= 2.3+1= 7$

Portanto, o limite de tal função não é contínuo em a=3, pois $\lim_{a\rightarrow 3} f(x) \neq f(a)$

Até aí eu acho que fiz tudo certo, só que para eu esboçar o gráfico é que tenho certa dúvida. Não sei desenhar o gráfico aqui no Fórum, demorei mais de 30 minutos pra escrever isso daí com o editor de fórmulas, imagine o gráfico. mais é o seguinte: imagine x vindo pela esquerda e pela direita ... f(x)=7. só que eu não sei como desenhar essa curva vindo da direita ou pela esquerda. porque a função limite nesse ponto é muito complicada para min desenhar esse tipo de gráfico. Digo, eu não sei se a curva vem se cima.. ou se baixo.. etc. eu sei só desenhar graficos de 2 grau, exponencial etc... mais um gráfico do tipo: $f(x)= \frac{2x^2-5x-3}{x-3}$

eu não tenho a mínima ideia.

A propósito, essa será minha primeira prova de Calculo aqui na federal do meu estado. Tenho certas dúvidas, queria uma opinião de vocês que são mais experientes. Se eu explicar exatamente dessa forma seria o mais ideal ou não? eu deveria apenas deixar o calculo puro e frio e pronto?

Valew pela atenção e bom final de semana pra todos

por **LuizAquino** » Sex Ago 12, 2011 23:33

O exercício fornece a função:

$f(x) = \begin{cases} 6\textrm{, se } x = 3 \\ \\ \displaystyle{\frac{2x^2 - 5x - 3}{x - 3}} \textrm{, se } x \neq 3 \end{cases}$

Para saber se f é contínua em 3, precisamos verificar se $\lim_{x\to 3} f(x) = f(3)$ .

Pois bem, calculando o limite:
$\lim_{x\to 3} f(x) = \lim_{x\to 3}\frac{2x^2 - 5x - 3}{x - 3}$

$= \lim_{x\to 3}\frac{2(x-3)\left(x + \frac{1}{2}\right)}{x - 3}$

$= \lim_{x\to 3} 2x+1$

$= 2\cdot 3 + 1 = 7$

Por outro lado, sabemos que f(3) = 6. Concluímos que $\lim_{x\to 3} f(x) \neq f(3)$ e portanto f não é contínua em 3.

Para esboçar o gráfico, basta perceber que essa função pode ser reescrita como:
$f(x) = \begin{cases} 6\textrm{, se } x = 3 \\ \\ \displaystyle{2x + 1} \textrm{, se } x \neq 3 \end{cases}$

Observações

killerkill escreveu:Não sei desenhar o gráfico aqui no Fórum

Use um programa específico, como por exemplo o GeoGebra. Depois é só anexar o arquivo de imagem na sua mensagem. Se deseja um tutorial de como usar esse programa, então eu gostaria de recomendar que visite meu canal:
http://www.youtube.com/LCMAquino

killerkill escreveu:A propósito, essa será minha primeira prova de Calculo aqui na federal do meu estado. Tenho certas dúvidas, queria uma opinião de vocês que são mais experientes. Se eu explicar exatamente dessa forma seria o mais ideal ou não?

Em verdade, veja que a sua solução está desorganizada. Muito provavelmente você perderia pontos devido a isso.

Por exemplo, perceba que você escreveu o símbolo de limite apenas uma vez e em seguida fez todo o desenvolvimento sem usá-lo. Isso está incorreto. Veja na resolução acima que o símbolo de limite apenas desaparece no final da resolução.

Além disso, você colocou sem necessidade a expressão $x \to a$ no limite, quando poderia apenas escrever $x\to 3$ .

killerkill escreveu:eu deveria apenas deixar o calculo puro e frio e pronto?

Isso depende do professor. O ideal é você perguntar a ele antes da avaliação.

por **killerkill** » Sex Ago 12, 2011 23:59

Estou com dificuldades no gráfico, nao consigo postar aqui.. Extençao GGB nao permitida

por **LuizAquino** » Sáb Ago 13, 2011 00:02

killerkill escreveu:Estou com dificuldades no gráfico, nao consigo postar aqui.. Extençao GGB nao permitida

Após fazer o desenho, use o menu "Arquivo > Exportar > Janela de Visualização como Figura (png, eps)".

Uma dica: redimensione a janela do programa antes de exportar. Caso contrário a sua imagem pode ficar muito grande.

por **killerkill** » Sáb Ago 13, 2011 00:06

ops, Agora eu entendi, ela vai ser uma reta com raíz -1/2 e f(0)=1... nunca imaginaria que seria uma reta... mais agora eu entendi. é uma RETA que em f(3)=6 deixando uma "bolinha aberta na reta) uma ves que ela esta definida em outro local da reta.. entendi! obrigado pela ajuda... e pela dica tambem.. realmente o modo como voce explicou é bem mais eficiente e claro. obrigado