Exercício do ITA-SP

por **tales** » Qui Jul 28, 2011 13:51

Considere a função: $Z-\left(0 \right)\rightarrow R, f(x)=\sqrt[2]{{3}^{x-2}}\cdot{({9}^{2x+1})}^{\frac{1}{2x}}-{({3}^{2x+5})}^{\frac{1}{x}}+1$
Qual o valor da soma de todos os valores de x para os quais a equação ${y}^{2}+2y+f(x)=0$ tem raiz dupla ?

Pelo que entendi ele quer a soma das raízes do polinômio: $p(x)=\sqrt[2]{{3}^{x-2}}\cdot{({9}^{2x+1})}^{\frac{1}{2x}}-{({3}^{2x+5})}^{\frac{1}{x}}$ , fiquei uma hora procurando uma forma de encontrá-las, mas não consegui.Se alguém pudesse me ajudar, eu ficaria muito grato.

por **LuizAquino** » Qui Jul 28, 2011 16:38

tales escreveu:Pelo que entendi ele quer a soma das raízes do polinômio: $p(x)=\sqrt{{3}^{x-2}}\cdot{({9}^{2x+1})}^{\frac{1}{2x}}-{({3}^{2x+5})}^{\frac{1}{x}}$

Em primeiro lugar, essa função p não é um "polinômio".

Em segundo, você quer resolver a equação $\sqrt{{3}^{x-2}}\cdot{({9}^{2x+1})}^{\frac{1}{2x}}-{({3}^{2x+5})}^{\frac{1}{x}} = 0$ .

Utilizando propriedades de potência, você pode reescrever essa equação como:

$3^{\frac{x-2}{2} + \frac{4x+2}{2x}} = 3^\frac{2x+5}{x}$

Isso significa que você precisa resolver a equação:

$\frac{x-2}{2} + \frac{4x+2}{2x} = \frac{2x+5}{x}$

por **Fabricio dalla** » Qui Jul 28, 2011 17:20

[tex]f(x)=p(x) ?
se for,ta faltando o 1 em p(x)

por **LuizAquino** » Qui Jul 28, 2011 18:23

Fabricio dalla escreveu:f(x)=p(x) ?
se for,ta faltando o 1 em p(x)

Em nenhum momento foi afirmado que f(x) = p(x).

por **Fabricio dalla** » Qui Jul 28, 2011 19:37

LuizAquino,quem é p(x) então ?

por **LuizAquino** » Qui Jul 28, 2011 20:32

Fabricio dalla escreveu:LuizAquino,quem é p(x) então ?

p é uma função que tales criou na resolução dele.

O que você deve estar querendo saber é como ele chegou nessa função.

Nesse caso, ele usou o fato de que uma equação polinomial do 2º grau do tipo ay^2 + by + c = 0

possui raiz dupla quando $\Delta = 0$ , sendo $\Delta = b^2 - 4ac$ .

por **tales** » Qui Jul 28, 2011 23:03

Fabricio dalla, meu raciocínio foi o seguinte: para uma equação do 2°grau ter raíz dupla deve posssuir $\Delta=0$ , nesse caso $\Delta={2}^{2}-4\cdot1\cdot f(x)$ logo $\sqrt[]{{3}^{x-2}}\cdot{\left({9}^{2x+1} \right)}^{\frac{1}{2x}}-{\left({3}^{2x+5} \right)}^{\frac{1}{x}}=0$ .Para ser mais específico quanto a minha dúvida chamei esta expressão de p(x) e infelizmente compliquei mais.