Limite

por **Claudin** » Sex Jul 01, 2011 03:45

Fazendo exercícios do livro de Guidorizzi

Deparei com tal dúvida:

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[]{x}-1}{\sqrt[]{2x+3}-\sqrt[]{5}}$

OBS: Sem utilizar L'Hopital

por **Claudin** » Sex Jul 01, 2011 03:47

Não consegui desenvolver corretamente por isso não postei nada, espero que alguém mostre uma solução plausível. Obrigado

por **LuizAquino** » Sex Jul 01, 2011 12:17

Dica

Multiplique o numerador e o denominador por $\left(\sqrt{x} + 1\right)\left(\sqrt{2x+3} + \sqrt{5}\right) .$

por **Claudin** » Ter Jul 05, 2011 15:35

Mas multiplicando por $\sqrt[]{x}+1$ não chegaria no resultado não?

por **LuizAquino** » Ter Jul 05, 2011 17:49

Claudin escreveu:Mas multiplicando por $\sqrt{x}+1$ não chegaria no resultado não?

Não.

Ainda que você multiplica-se apenas por essa expressão e fizesse as devidas simplificações, em seguida você iria precisar multiplicar por $\left(\sqrt{2x+3} + \sqrt{5}\right)$ .

por **Claudin** » Qua Jul 20, 2011 15:18

Mesmo utilizando a multiplicação fornecida pelo Luiz Aquino, não obtive o resultado correto, mas, acho que encontrei meu erro.

Quando multiplica-se ${\sqrt[]{2x+3}-\sqrt[]{5}).(\sqrt[]{2x+3}+\sqrt[]{5})$
e quando multiplica-se $\sqrt[]{x}-1.\sqrt[]{x}+1$

Qual resultado é obtido?

por **LuizAquino** » Qua Jul 20, 2011 15:41

Claudin escreveu:Quando multiplica-se $(\sqrt[]{2x+3}-\sqrt[]{5}).(\sqrt[]{2x+3}+\sqrt[]{5})$

$\left(\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}\right)\cdot \left(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\right) = 2x - 2$

Claudin escreveu:e quando multiplica-se $(\sqrt[]{x}-1).(\sqrt[]{x}+1)$

$\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right) = x - 1$

Claudin escreveu:Mesmo utilizando a multiplicação fornecida pelo Luiz Aquino, não obtive o resultado correto, mas, acho que encontrei meu erro.

A multiplicação indicada ficaria como segue abaixo.

$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}} = \lim_{x\to 1}\frac{(\sqrt{x}-1)\left(\sqrt{x} + 1\right)\left(\sqrt{2x+3} + \sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{2x+3} - \sqrt{5}\right)\left(\sqrt{x} + 1\right)\left(\sqrt{2x+3} + \sqrt{5}\right)}$

$= \lim_{x\to 1}\frac{(x-1)\left(\sqrt{2x+3} + \sqrt{5}\right)}{\left(2x - 2\right)\left(\sqrt{x} + 1\right)}$

$= \lim_{x\to 1}\frac{(x-1)\left(\sqrt{2x+3} + \sqrt{5}\right)}{2\left(x - 1\right)\left(\sqrt{x} + 1\right)}$

$= \lim_{x\to 1}\frac{\left(\sqrt{2x+3} + \sqrt{5}\right)}{2\left(\sqrt{x} + 1\right)}$

$= \frac{\left(\sqrt{2\cdot 1+3} + \sqrt{5}\right)}{2\left(\sqrt{1} + 1\right)} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

por **Claudin** » Qua Jul 20, 2011 15:44

Só não compreendi uma coisa

Sendo: $x-1=(\sqrt[]{x}+1).(\sqrt[]{x}-1)$ correto?

Na hora de fazer as devidas simplificações resultou em $2(\sqrt[]{x}+1)$

Ou seja, você simplificou $(\sqrt[]{x}+1)$ com $(\sqrt[]{x}-1)$ correto?

Porque não poderia ter simplificado $(\sqrt[]{x}+1)$ com $(\sqrt[]{x}-1)$

ai resultaria em uma indeterminação.

por **LuizAquino** » Qua Jul 20, 2011 16:12

Claudin escreveu:Sendo: $x-1=(\sqrt{x}+1).(\sqrt{x}-1)$ correto?

Sim, está correto.

Claudin escreveu:Na hora de fazer as devidas simplificações resultou em $2(\sqrt[]{x}+1)$

Ou seja, você simplificou $(\sqrt[]{x}+1)$ com $(\sqrt[]{x}-1)$ correto?

Não está correto. No denominador simplesmente foi usado a propriedade comutativa do produto:

$\left(\sqrt{2x+3} - \sqrt{5}\right)\left(\sqrt{x} + 1\right)\left(\sqrt{2x+3} + \sqrt{5}\right)$ $= \left(\sqrt{2x+3} - \sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2x+3} + \sqrt{5}\right)\left(\sqrt{x} + 1\right) = (2x-2)\left(\sqrt{x} + 1\right)$ .