Limite

por **Claudin** » Sex Jul 01, 2011 03:41

Fazendo exercícios do livro de Guidorizzi

Deparei com tal dúvida:

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2}}{x-2}$

Em que desenvolvendo obtive:

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2}}{x-2}.\frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{2}}$

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{(x-2)}{(x-2)(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{2})}$

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{1}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{2}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{2}}= \frac{1}{2\sqrt[4]{2}}$

por **Claudin** » Sex Jul 01, 2011 03:42

Porém a resposta correta seguindo o gabarito do livro seria $\frac{1}{4\sqrt[4]{8}}$

Alguém poderia confirmar a resposta correta e se possível mostrar onde eu errei.

por **Fabio Cabral** » Sex Jul 01, 2011 11:07

Claudinho, lembre-se do produto notável:

a^4-b^4 = (a-b).(a+b).(a^2+b^2)

por **Fabio Cabral** » Sex Jul 01, 2011 11:31

Aplicando produto notável:

a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)

$x-2 = ({\sqrt[4]{x}})^{4}-({\sqrt[4]{2})}^{4}=(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{2})[{(\sqrt[4]{x})}^{2}+{(\sqrt[4]{2})}^{2}]$

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2}}{x-2}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2}}{(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{2})[{(\sqrt[4]{x^{2}})}+{(\sqrt[4]{2^{2}})}]}$

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{1}{(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{2})[{(\sqrt[4]{x^{2}})}+{(\sqrt[4]{2^{2}})}]}$

Agora aplique x=2 e resolva.

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