Integrais Múltiplas

por **EulaCarrara** » Dom Jun 26, 2011 21:09

Um objeto tem forma esférica com raio de 10cm. Sua massa é desigualmente distribuída pelo volume, sendo que a densidade é máxima igual a 5g/cm³ no centro e decai proporcionalmente à distância do centro, chegando a zero na superfície. Encontre a massa do objeto.

:?:

por **MarceloFantini** » Dom Jun 26, 2011 21:49

Não tenho muito domínio sobre o assunto, então não posso afirmar com certeza sobre a resposta. Primeiro, sabemos que a massa será dada por:

$M = \iiint \delta(x,y,z) \; dV$

Como o objeto é esférico, isso me sugere utilizar coordenadas esféricas. Não sabemos a densidade, mas pelos dados do enunciado eu pensaria em algo da seguinte forma:

$\delta(r, \theta, \phi) = 5(1-r)$

Quando a distância ao centro é zero a densidade é 5 e na superfície a densidade é zero. Note que não depende dos ângulos. Portanto, acredito que fique assim:

$\int\limits_0^{\pi} \int\limits_0^{2 \pi} \int\limits_0^{10} 5(1-r) r^2 \, sen \phi \; dr \, d\theta \, d\phi$

Agora o problema é basicamente resolver esta integral tripla. Quero lembrar que não tenho certeza do raciocínio, mas eu pensaria assim.

por **LuizAquino** » Seg Jun 27, 2011 11:14

Prezados,

Seja $\rho(x,\,y,\,z)$ a densidade de massa no ponto $(x,\,y,\,z)$ .

Suponha que a esfera está centrada na origem do sistema.

Queremos que:
(i) $\rho(0,\,0,\,0) = 5$ ;
(ii) $\rho(x_1,\,y_1,\,z_1) = 0$ , com $(x_1,\,y_1,\,z_1)$ um ponto sobre a esfera;
(iii) $\rho$ decai proporcionalmente à distância do centro.

Para simplificar, considere que d é a distância do ponto $(x,\,y,\,z)$ ao centro da esfera. Podemos reescrever (i), (ii) e (iii) como:

(i*) $d = 0 \Rightarrow \rho = 5$ ;
(ii*) $d = 10 \Rightarrow \rho = 0$ ;
(iii*) $\rho = kd + m$ , com k e m constantes reais.

Disso, obtemos: $\rho = -\frac{1}{2}d + 5$ .

Mas, isso é o mesmo que: $\rho(x,\,y,\,z) = -\frac{1}{2}\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} + 5$ .

Sendo assim, lembrando-se da simetria da esfera, podemos calcular a sua massa por:
$m = 8\int_0^{10} \int_0^{10} \int_0^{10} -\frac{1}{2}\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} + 5 \,dx\,dy\,dz$

Em coordenadas esféricas, essa integral pode ser reescrita como:
$m = 8\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{10} \left(-\frac{1}{2}r + 5\right) r^2\,\textrm{sen}\,\phi\,dr\,d\theta\,d\phi$

por **MarceloFantini** » Seg Jun 27, 2011 11:23

Bom, esqueci do $\frac{1}{2}$ mas a resposta é a mesma do Luiz Aquino. O número 8 está ali apenas para deixar os limites de integração mais bonitinhos, haha.