Área de triângulo

por **Mi_chelle** » Qua Mai 04, 2011 20:16

Não estou conseguindo resolver a seguinte questão:
(Unicamp) Sejam A,B,C e D os vértices de um quadrado de lado a= 10cm; Sejam ainda E e F pontos nos lados AD e DC respectivamente, de modo que BEF seja um triângulo equilátero.
a)Qual o comprimento do lado desse triângulo.
b) Calcule a área do mesmo.

Tentativa:
a)Inicialmente fiz as seguintes deduçoes:
AE=CF=y
DE=DF=Z
m seria a altura do triângulo, então m= $\frac{x.\sqrt[]{3}}{2}$
A soma das áreas dos triângulos ABE, DEF, BCF E BEF é igual a 100cm²

Então, $[tex]\frac{10.y}{2}+\frac{{z}^{2}}{2}+\frac{10.y}{2}+\frac{x.m}{2}$ =100.

Resolvendo essa equação, cheguei ao resultado:
x²= $\frac{100\sqrt[]{3}}{3}$ .

Porém no gabarito a resposta é:
a)10( $\sqrt[]{6}-\sqrt[]{2}$ )cm.
b)100(2 $\sqrt[]{3}-3)$ cm².

Onde foi que eu errei?

por **claudinho** » Ter Jun 14, 2011 22:52

No Vértice B, alem do angulo do triangulo equilatero (60°)
temos 02 angulos que medem 30/2 <=> 15° cada

peguemos um dos triangulos, BEC por exemplo, onde:
BC = 10 cm (lado do quadradro)
BE = hipotenusa ( tb é o lado do triangulo equilatero a ser descoberto)
C = 90°
E = 75°
B = 15°

Lembrando a "subtração de cosseno" :
(eu ja tinha sacado q esta formula salvaria a questao, mas confesso q tive q relembra-la pelo google,

)
$\\\\ \cos 15^0 = \cos 45^0 - \cos 30^0 \\\\ \cos (\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \\\\ \cos (45^0-30^0) = \cos45^0 \cos30^0 + \sin45^0 \sin30^0 \\\\ \cos 15^0 = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} \\\\ \cos 15^0 = \frac{\sqrt{6}+ \sqrt{2}}{4} \\\\$

Agora podemos trabalhar com o triangulo BEC e descobrir BE (chamemos de "l")
$\\ \cos 15^0= \frac{cat.adj}{hip} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{6}+ \sqrt{2}}{4} = \frac{10}{l} \Leftrightarrow l = \frac{40}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \\\\ l = 10(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \\$

Solucionando assim sua questão "a", identico ao seu gabarito

Para questão "b" tem q usar a "fórmula da Area do triangulo equilatero"
$S_{equilatero}= \frac{l^2\sqrt{3}}{4} \\$

fiz aqui "no papel" e bateu tb identico ao seu gabarito,
(perdao por nao resolucinar aqui por enquanto no tex)

Abraços