Limites e Derivadas

por **SheylaTamarossi** » Dom Jun 12, 2011 11:19

Use a regra de L’Hopital para determinar o limite.
$\lim_{x->0} =\frac{{e}^{x} - {e}^{-x} - 2sen(x)} {xsen (x)}$

Resolvendo a questão, cheguei ao seguinte resultado:

$\lim_{x->0} = \frac{{e}^{x}.1 - {e}^{-x}.(-1) - 0 cos(x)}{1cos(x)} \rightarrow \lim_{x->0} = \frac{{e}^{x} + {e}^{-x} - cos(x)}{1cos(x)}$

Minha dúvida é: Será que isso está certo? Tenho certa dificuldade nos sinais...
Se estiver, já posso aplicar o limite ou continuo fatorando?
Obrigada!

por **LuizAquino** » Dom Jun 12, 2011 12:12

Reveja a sua resolução. Lembre-se que:
(i) $(-2\,\textrm{sen}\,x)^\prime = - 2\cos x$ .
(ii) $(x\,\textrm{sen}\,x)^\prime = (x)^\prime\,\textrm{sen}\,x + x\,(\textrm{sen}\,x)^\prime = \textrm{sen}\,x + x\cos x$ .

Além disso, vale destacar que você pode aplicar a Regra de L'Hôpital enquanto o limite tiver uma indeterminação 0/0 ou infinito/infinito.

por **Fabio Cabral** » Seg Jun 13, 2011 10:54

Bom dia.
Para derivar essas duas funções acima, aplique a regra da cadeia.

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}-2senx}{xsenx}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}-2cosx}{senx+xcosx}$

Note que você ainda terá uma indeterminação do tipo $\frac {0}{0}$ .
Derive a função novamente:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}+2senx}{2cosx-xsenx}=0$

por **LuizAquino** » Seg Jun 13, 2011 11:26

Fabio Cabral escreveu: $\lim_{x\rightarrow0}\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}-2senx}{xsenx}$

$=\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}-2cosx}{senx+xcosx}$

Cuidado com a escrita!

Note, por exemplo, que $\lim_{x\rightarrow0}\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}-2\,\textrm{sen}\,x}{x\,\textrm{sen}\,x} \neq \frac{{e}^{x}+{e}^{-x}-2\cos x}{\textrm{sen}\,x+x\cos x}$ .

O correto é: $\lim_{x\to 0}\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}-2\,\textrm{sen}\,x}{x\,\textrm{sen}\,x} = \lim_{x\to 0} \frac{{e}^{x}+{e}^{-x}-2\cos x}{\textrm{sen}\,x+x\cos x}$ .