Regra de l'Hopital

por **Claudin** » Seg Mai 16, 2011 16:05

Como aplicar essa regra
nao consegui compreendê-la
http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_l%27H%C3%B4pital

Por exemplo, como aplicar ela nesse limite $\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2-5x+6}{x-3}$

obrigado

por **LuizAquino** » Seg Mai 16, 2011 19:36

Para aplicar a Regra de L'Hôpital você precisa ter estudado o conteúdo de derivadas. Se você ainda não tiver estudado esse conteúdo, então você não entenderá como aplicar a regra.

por **Claudin** » Seg Mai 16, 2011 20:06

É, me precipitei entao.
Porque no topico anterior amigo do forum
disse que poderia utilizar essa regra, ai procurei saber como era, e nao compreendi direito!
Valeu

por **FilipeCaceres** » Seg Mai 16, 2011 20:20

Desculpa Caludin,

No tópico anterior eu havia lhe passado o link mesmo, mas como já disse nosso amigo LuizAquino se você ainda não estudou derivada não vai entender. É melhor que você faça como havia feito(fatore).

Abraço.

por **Claudin** » Seg Mai 16, 2011 23:08

Tranquilo Felipe

Abraço

por **Fabio Cabral** » Ter Jun 07, 2011 14:39

Pessoas,

A regra do L'Hopital só pode ser aplicada se $\lim_{x\rightarrow a}f(x)= \lim_{x\rightarrow a}g(x)$ . (Um dos casos)

Tomando como exemplo a forma $\lim_{x\rightarrow a}=\frac{f(x)}{g(x)}$ , só poderei aplicar essa regra, se, tanto f(x) quanto f(x) tenderem para o mesmo 'lugar'.

$\lim_{x\rightarrow0} \frac{cosx-cos3x}{{senx}^{2}}$

cosx = 0
cos3x = 0
senx²= 1

(Não tenho certeza desses valores. Por favor, se estiverem errados, avisem-me)

Nesse caso, sendo $\frac{0-0}{1}$ poderei aplicar a regra do L'Hopital?

por **Fabio Cabral** » Qui Jun 09, 2011 10:37

Pessoal?

por **deangelo** » Qui Jun 09, 2011 11:56

A regra de L'Hopital é utilizada somente para os casos em que o cálculo do limite resulta em uma indeterminação do tipo:

$\frac{0}{0} \ ou \ \frac{\infty}{\infty}$

Neste caso quando é possível calcular o limite, então calcula-se a derivada do numerador e do denominador e finalmente calcula-se o limite do quociente das duas derivadas. Em forma simbólica:

$\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\ ,\ g'(x) \neq 0$

Por exemplo, calculando o limite desta função que você perguntou:

$\lim_{x \rightarrow 3}\frac{x^2-5x+6}{x-3} = \lim_{x \rightarrow 3}\frac{(x^2-5x+6)'}{(x-3)'} = \lim_{x \rightarrow 3}\frac{2x - 5}{1} = \lim_{x \rightarrow 3}{2x - 5}$

Como 2x - 5

é uma função contínua, então:

$\lim_{x \rightarrow 3}{2x - 5} = 2.3 - 5 = 1$

Lembrando que para usar L'Hopital é preciso saber pelo menos o básico de derivada.
Qualquer dúvida, pergunte novamente.
Abraços!

por **Fabio Cabral** » Qui Jun 09, 2011 12:05

Certo. A aplicação nesse tipo de função eu conheço e não tenho dúvidas.

O negócio é aplicar L'Hopital na funções trigonometricas, logatmicas, "mistas", etc.

Tomando como exemplo essa última função que eu postei.

por **deangelo** » Qui Jun 09, 2011 12:49

Você trocou algumas coisas:

$cos(0) = 1 \ sen(0) = 0$

Portanto, a princípio, o resultado está sendo $\frac{0}{0}$ . Então é possível utilizar L'Hopital. Que resulta em:

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3.sen(3x) - sen(x)}{2x.cos(x^2)}$

Ainda continua dando $\frac{0}{0}$ , então aplique L'Hopital de novo:

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{9.cos(3x) - cos(x)}{2.cos(x^2) - 4x^2.sen(x^2)}$

Como agora a função é contínua é só calcular f(0):

$\frac{9.cos(0)-cos(0)}{2.cos(0)} = \frac{9-1}{2} = 4$

por **Fabio Cabral** » Qui Jun 09, 2011 13:20

Que interessante. Não sabia que podia aplicar a derivada de segunda ordem. *-)

Derivamos até a função se tornar contínua para aplicar o ponto?

Inclusive, há outras dúvidas com outros exercícios. Porém, depois dessa explicação, vou tentar refaze-los
É possível que suja mais algumas dúvidas sobre outros exercícios.

por **deangelo** » Qui Jun 09, 2011 14:12

Exatamente, aplica-se L'Hopital até que seja possível calcular a função no ponto. Para algumas funções você consegue calcular simplesmente tendo o gráfico em mente, algumas funções trigonométricas e logarítmicas é mais fácil encontrar o limite desta forma.
Para encontrar o limite de:

$lim_{x \rightarrow +\infty} e^x$

É mais útil ter o gráfico em mente e saber que é $+\infty$ .
Mas existe alguns casos que aplicar L'Hopital não adianta muito, exponencial, por exemplo, você deriva e fica aparecendo exponencial de novo (alguns casos particulares, eu me refiro) e ainda continua dando uma indeterminação, aí você deve utilizar outras "ferramentas", fatoração por exemplo, desenhar o gráfico, etc...

por **Fabio Cabral** » Sex Jun 10, 2011 11:24

Certo, deangelo.

Estou refazendo alguns exercícios. Qualquer coisa eu posto aqui !

por **Fabio Cabral** » Sex Jun 10, 2011 12:56

Depois dessas dicas, consegui fazer mais 5 questões. Porém, empaquei em uma:

$\frac{ln(x+e^x)}{x}$

Constatei que é uma indeterminação do tipo $\frac {+\infty}{+\infty}$ e apliquei a regra do L'Hopital derivando f(x) e g(x) (Em cima e Embaixo, respectivamente).

$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{\frac{1+e^x}{x+e^x}}{1}$

Multiplicando pelo inverso da segunda:

${\frac{1+e^x}{x+e^x}}$

Ainda há uma indeterminação, porém, mesmo se derivar N vezes, a indeterminação não vai sair.

O que estou fazendo de errado?

Resposta = 1.

por **AlbertoAM** » Sex Jun 10, 2011 14:13

Aplique L'Hôpital mais duas vezes que você chegará em $\frac{e^x}{e^x}=1$ .

por **deangelo** » Sex Jun 10, 2011 15:23

Faça isso que AlbertoM falou e dará certo.
Resolva esta questão aqui para você ver:

1. Calcule o seguinte limite:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1 + e^{-x}}{x + e^{x}}$