Duvida URGENTE

por **legendkiller2009** » Qua Jun 01, 2011 19:18

Gostava que me ajudassem pois nâo estou a conseguir resolver este problema de matemática.

É o seguinte:

tenho 3 rectas : y = exp(x) ; y = 1 - X ; x=1

e gostava de saber a região delimitada pelas rectas utilizando integrais.

Eu já tentei fazer mas encalho sempre nas intersecções das rectas.

Se alguem me ajudar fico muito agradecido.

por **carlosalesouza** » Qua Jun 01, 2011 19:37

Primeiro, falemos em linhas, não retas... pois e^x

é uma curva...

Depois, lembremos que a área de uma curva é a soma dos retângulos com altura igual f(x) - g(x) e largura igual ao intervalo dividido pelo número de retângulos quando este número tende ao infinito, não é?

Então, veja que a altura dos retângulos é delimitada por y=e^x

e y = 1 com interseção em x = 0, que será a primeira interseção... a outra interseção será em x=1, que é o outro delimitador da área...

Então, a área será dada por:

$\\ A=\int_0^1[ e^x-1 ]dx\\ A=[ e^x-x ]_0^1\\ A=[ e^1-1 ]-[e^0-0]\\ A=[ e-1 ] - [1]\\ A=e-1-1\\ A=(e-2)u.a.$

Correto?

Um abraço

por **LuizAquino** » Qui Jun 02, 2011 14:55

A figura abaixo ilustra o exercício.

: área-A.png (6.31 KiB) Exibido 2206 vezes

Para determinar a interseção entre f(x) = e^x

e g(x) = 1 - x, você precisaria resolver a equação f(x) = g(x), ou seja, e^x = 1 - x

. Acontece que não temos um meio analítico de determinar a solução dessa equação. Porém, não é difícil perceber que x = 0 é a solução. Ora, como f(0)=g(0)=1, temos que o ponto de interseção é (0, 1).

Por outro lado, temos as retas x = 1 e g(x) = 1 - x. Ora, note que o ponto de interseção necessariamente tem o formato (1, y). Para determinar y, basta calcular y = g(1) = 0. Portanto, o ponto de interseção é (1, 0).

Por fim, temos a reta x = 1 e a curva f(x) = e^x

. Ora, note que o ponto de interseção necessariamente tem o formato (1, y). Para determinar y, basta calcular y = f(1) = e. Portanto, o ponto de interseção é (1, e).

Considerando essas informações, temos que:
$A = \int_0^1 e^x - (1 - x)\,dx = \left[e^x - x + \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = e - \frac{3}{2}$ u. a. (unidade de área).

por **carlosalesouza** » Qui Jun 02, 2011 18:35

Perdão... quando calculei, vi as funções incompletas... y= 1-X... tava tudo emendado, eu vi y = 1...

Luiz, meu caro Luiz... sempre tambando as minhas gafes... rs

Um abraço

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