integral definida

por **liviabgomes** » Qua Jun 01, 2011 15:14

Calcular a integral definida:

$f(x)=\int_{0}^\(pi/2)_ \$ sen(x) cos²(x) dx=

a minha dúvida é: integral definida pode ser resolvida pelo método da substituição? Ou tenho que tentar resolver simplificando as fórmulas de seno e cosseno? Pelas transformações das fórmulas trigonométricas eu não consigo resolver. Podem me ajudar???

por **carlosalesouza** » Qua Jun 01, 2011 16:30

vamos lá...

$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}sen(x)cos^2(x)$

O que precisamos é integrar sen(x).cos^2(x)

vamos manipular seguindo as identidades trigonométricas...

Por favor, o Felipe que me corrija, pq trigonometria é a praia dele... hehhehehehe

$\\ sen(x).cos^2(x)\\ \left [sen(x).cos(x)\right ].cos(x)\\ \left [ \frac{1}{2}sen(2x)\right].cos(x)\\ \frac{1}{2}[sen(2x).cos(x)]\\ \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}(sen(x+2x)-sen(x-2x))\right ]\\ \frac{1}{4}[sen(3x)-sen(-x)]\\ \frac{1}{4}[sen(3x)+sen(x)]$

Agora, integrando:
$\\ \displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}[sen(3x)+sen(x)]dx$

Como a integral de sen(x) é -cos(x), então:

$\\ \left [-cos(3x)-cos(x)\right ]_0^\frac{\pi}{2}\\ \left [-cos\left(3.\frac{\pi}{2}\right )-cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right ]-[-cos(3.0)-cos(0)]\\$

bem... $cos\left ( \frac{3\pi}{2}\right) = 0, cos\left (\frac{\pi}{2}\right)=0, cos(0)=1$

Assim:
$\\ \left [-(0)-(0)\right ]-\left [-(1)-(1)\right ]\\ 0-(-2) = 2$

Como disse, espero o amparo dos caros colegas mais familiarizados com a trigonometria pra ver se não cometi algum deslize... mas, me parece certo...

Um grande abraço

por **LuizAquino** » Qua Jun 01, 2011 16:36

Nesse exercício em específico, a solução é mais simples.

Tomando-se u = cos x, temos que du = - sen x dx.

Desse modo, temos que:
$\int \textrm{sen}\,x\cos^2 x \,dx = - \int u^2 \,du = - \frac{1}{3}u^3 + c = - \frac{1}{3} \cos^3 x + c$ .

Observação
carlosalesouza,

Lembre-se que $\int \textrm{sen}\,ax \, dx = -\frac{1}{a}\cos ax + c$ , com a real não nulo.

Além disso, você esqueceu da constante 1/4 no cálculo da integral.

por **liviabgomes** » Qua Jun 01, 2011 17:54

qual das duas explicações aplica-se melhor a integral definida? a primeira ou a segunda?

por **liviabgomes** » Qua Jun 01, 2011 17:58

fiz pela segunda explicação e deu -1/3. está correto?

por **LuizAquino** » Qua Jun 01, 2011 18:28

por **carlosalesouza** » Qui Jun 02, 2011 08:53

Livia,

Certa está a resposta do Luiz... rs

Não teima com o Luiz... :-O

Me ignora... hehehhee

Um abraço

por **LuizAquino** » Qui Jun 02, 2011 12:16

Olá carlosalesouza,

Na verdade, com poucas correções a sua reposta também é correta.

$\int_0^\frac{\pi}{2} \textrm{sen}\,x\cos^2 x \,dx = \frac{1}{4}\int_0^\frac{\pi}{2}\textrm{sen}\,3x + \textrm{sen}\,x \,dx = \left[-\frac{1}{12}\cos 3x - \frac{1}{4}\cos x\right]_0^\frac{\pi}{2}$ $= \left(-\frac{1}{12}\cos \frac{3\pi}{2} - \frac{1}{4}\cos \frac{\pi}{2}\right) - \left(-\frac{1}{12}\cos 3\cdot 0 - \frac{1}{4}\cos 0\right) = \frac{1}{3}$

por **carlosalesouza** » Qui Jun 02, 2011 12:38

Hehehe...

Muito obrigado, Luiz,...

De fato, eu me perdi no acúmulo de procedimentos que fiz... rs e me perdi em alguns detalhes que comprometeram o resultado...

Um abraço