Questão de derivada direcional e gradiente

por **Cristiano Tavares** » Dom Mai 29, 2011 11:25

Olá a todos,

O problema parece ser simples, mas já tentei resolver várias vezes e não consegui. Segue o mesmo abaixo:

"A função z = f (x,y) tem no ponto (1,2) derivada direcional igual a $\sqrt[2]{2}$ , na direção do vetor v = (2,2), e derivada direcional igual a -1 na direção do vetor u = (0,1). Nessas condições pode-se afirmar:

a) O vetor gradiente, no ponto (1,2), é igual a (3,-1). Verdadeiro ou falso?

b) Na direção do vetor (2,6) não há variação da função. Verdadeiro ou falso?"

Estou com dificuldade para resolver esse problema porque não foi dada a função f(x,y).

por **LuizAquino** » Dom Mai 29, 2011 12:26

Sabemos que a derivada direcional de f na direção do vetor unitário $\vec{u}$ é dada por: $D_{\vec{u}}f = \nabla f \cdot \vec{u}$ .

Note que o vetor que fornece a direção deve ser unitário. Isto é, $||\vec{u}|| = 1$ .

Pelos dados do exercício, no ponto (1, 2) e direção $\vec{v} = (2,\,2)$ temos que $D_{\frac{\vec{v}}{||\vec{v}||}}f(1,\,2) = \nabla f(1,\,2) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\,\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}$ .

Além disso, no ponto (x, y) e direção $\vec{u} = (0, 1)$ temos que $D_{\vec{u}}f(x,\,y) = \nabla f(x,\,y) \cdot \left(0,\,1\right) = -1$ .

Na letra a) do exercício precisamos avaliar se é verdade que $\nabla f(1,\,2) = (3,\,-1)$ . Isto é, basta verificar se é válido que $(3,\,-1)\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\,\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}$ .

Já na letra b), precisamos avaliar se no ponto (x, y) e direção $\vec{v} = (2,\,6)$ é verdade que $D_{\frac{\vec{v}}{||\vec{v}||}} f(x,y) = \nabla f(x,\,y) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{10}},\,\frac{3}{\sqrt{10}}\right) = 0$ . Para isso, aqui vai uma dica: da segunda informação do exercício, temos que f_y = -1