Conjuntos numéricos - Questão da EPCAR

por **ingridgusmao** » Sex Mai 27, 2011 12:48

Olá, gostaria por gentiliza, que alguém me desse uma mãozinha com essa questão da EPCAR aqui:

04 - Assinale a proposição FALSA.

a) ? b,a ?Q e a < b, então ? c ? Q, tal que a < c < b
b) ? b,a ?IN e a < b, então ? c ? Q, tal que a < c < b
c) ? b,a ? Z e a < b, então ? c ? Q, tal que a < c < b
d) ? b,a ?Q e a < b, então ? c ? Z , tal que a < c < b

Eu sei que a alternativa FALSA, segundo meu livro, é a letra "D". Entretanto, gostaria de entender, de uma forma mais esclarecida, o porquê do erro. Percebi que D é a única alternativa que c ? Z. O que isso influi como alternativa incorreta? Por que as alternativas B e C, pertencendo a conjuntos não-Q não se enquadra a esse raciocínio?

por **carlosalesouza** » Sex Mai 27, 2011 14:50

Vamos traduzir do matematiquês para o português... rs

Como sabemos q a D é a falsa, não há necessidade de demonstrar que as demais são verdadeiras...

Então:
Para todo b e a Racionais, sendo a menor que b, então Existe um c Inteiro, tal que a é menor c que é menor que b

Ora, sabendo que entre dois números inteiros consecutivos existem infinitos números racionais, então, sendo a e b dois números racionais localizados no mesmo intervalo entre dois inteiros consecutivos, não há nenhum c Inteiro entre eles...

Para ficar verdadeira, essa afirmativa poderia ser:

$\exists a,b\in \mathbb N\wedge a<b | \exists c\in \mathbb Z\wedge a<c<b$

Ou seja...

Existe algum a e b Racionais, sendo a menor que b, tal que existe algum c Inteiro sendo a menor que c menor que b

por **ingridgusmao** » Sáb Mai 28, 2011 04:13

Ótima explicação, Carlos! Muito Obrigada, me ajudou não só nesta questão, mas em muitas que irei enfrentar. Direi o porquê...

Talvez uma falta de atenção minha, ou "burrice" mesmo, mas nunca reparei que "a" e "b" são representações de números consecutivos. Achava que não passava de uma simples representação, como "x"e "y". Me sinto até boba por isso, rs, mas bobagem que fará muita diferença saber sobre.

Abraços!

por **carlosalesouza** » Dom Mai 29, 2011 02:52

Não há de quê...

Mas, na verdade, a e b são, de fato, variáveis... como x, y, z ou qualquer outra letra... e não há necessidade de que sejam consecutivos, apenas que a seja menor que b...

O ponto é que os números racionais estão nos intervalos entre os números inteiros... e só há número inteiro entre os racionais se a e b estiverem localizados em intervalos diferentes... ok?

por **ingridgusmao** » Dom Mai 29, 2011 03:18

Ah sim, entendi. É que se a e b fossem consecutivos, faria totalmente sentido a alternativa ser falsa. Quero dizer, não diria "toltamente sentido", porém, mais fácil de compreender. Pq no momento em que pensei que eles não são consecutivos, apenas números váriaveis inteiros, eu raciocinei: "Ah, então 'a' poderia ser, por exemplo, um 2, e 'b' um 4, daí pq 'c' não seria um 3, que é inteiro, e que, assim sendo, se aplicaria na ordem dada na alternativa?"

por **carlosalesouza** » Dom Mai 29, 2011 03:59

Não é bem esse o raciocínio...

O ponto chave é que a sentença está dizendo que PARA TODO... e isso quer dizer SEM EXCEÇÃO... a e b racionais, ou seja, pegue dois números racionais, não importa quais...

Continuando... PARA TODO a e b RACIONAIS distintos, existe SEMPRE um número INTEIRO entre eles....

Isso é falso... entende?

Não existe SEMPRE um número inteiro ENTRE dois racionais...

Temos que tomar cuidado com esses símbolos lógicos...

PARA TODO quer dizer que, se existir um único caso, por mais difícil que seja de se encontrar um exemplo, em que a afirmativa não se cumpra, então ela é falsa...

É o mesmo que dizer.... TODO número PRIMO é ÍMPAR... a afirmativa é falsa, pois 2 é par e é primo...

EXISTE, quer dizer que não são todos os casos que correspondem, mas, desde que exista PELO MENOS UM... então é verdadeiro...

Por exemplo: EXISTE um homem que pisou na lua... é diferente de dizer TODOS pisaram na lua... pouquíssimos homens estiveram lá, mas, desde que pelo menos um tenha conseguido, então é verdadeiro...

NÃO EXISTE quer dizer que NÃO É POSSÍVEL... é o contrário do para todo, ou seja, existindo pelo menos um, ela se torna falsa...

Como dizer... NÃO EXISTE POLÍTICO HONESTO... se houver pelo menos um... unzinho, por mais escondido que esteja, então é falso dizer isso...

Ok?

Um abraço

por **ingridgusmao** » Seg Mai 30, 2011 13:53

Quanta falta de atenção minha, tsc, dá até vergonha. Quando eu ao invés de ler de uma forma superficial aqui na internet e decidi imprimir suas respostas e ler com mais atenção e sem dispersão na folha de papel, compreendi já pela a primeira resposta.

Enfim, obrigada pela paciência, rsrs.