cardinalidade de N

por **norberto** » Qua Mai 18, 2011 05:01

Olá !

Na verdade, não consigo entender o motivo pelo qual considera-se os Naturais um conjunto infinito,
visto que, de acordo com o algoritmo proposto por Peano, só podemos obter Naturais finitos.

Por exemplo :

. Seja n um número finito
. O sucessor de n é n+1

A dúvida é se podemos considerar que em algum momento n+1 não é
um número finito.

por **MarceloFantini** » Qua Mai 18, 2011 07:12

Você está com conceitos errados, não existe um número "infinito". Os axiomas de peano mostram que dado um número, existe um maior chamado sucessor. Uma pergunta simples é: você consegue contar todos os números naturais?

por **norberto** » Qua Mai 18, 2011 14:45

Oi Marcelo !

Talvez estejamos os dois com "conceitos errados".
Pois a resposta para sua pergunta "Você consegue contar todos os números Naturais ?" é :

- sim, claro que eu posso.

Não foi justamente isso que Cantor fez ?
Minha dúvida permanece.
Se os números Naturais são todos finitos, como podemos dizer que eles formam um
conjunto infinito ?
Eu nunca havia me perguntado isso antes, até ler um artigo em http://naturaisetransfinitos.blogspot.com
mais especificamente : http://naturaisetransfinitos.blogspot.c ... de-ou.html

Não concordo com tudo que o cara fala, mas sobre essa questão específica, o artigo fundiu minha cuca.

por **Jorge Rodrigo** » Qua Mai 18, 2011 21:06

norberto escreveu:Oi Marcelo !

Talvez estejamos os dois com "conceitos errados".
Pois a resposta para sua pergunta "Você consegue contar todos os números Naturais ?" é :

- sim, claro que eu posso.

Não foi justamente isso que Cantor fez ?
Minha dúvida permanece.
Se os números Naturais são todos finitos, como podemos dizer que eles formam um
conjunto infinito ?
Eu nunca havia me perguntado isso antes, até ler um artigo em http://naturaisetransfinitos.blogspot.com
mais especificamente : http://naturaisetransfinitos.blogspot.c ... de-ou.html

Não concordo com tudo que o cara fala, mas sobre essa questão específica, o artigo fundiu minha cuca.

Olá amigo tudo bem?, a respeito da sua resposta dada acima(- sim, claro que eu posso.), me permita uma pergunta. Qual o último número do conjunto dos naturais?

por **MarceloFantini** » Qua Mai 18, 2011 21:11

Pessoalmente isso não é mais matemática, isso é filosofia, então me abstenho da discussão. Não sei quem é o autor, não sei suas qualificações e em que seus argumentos ajudam. O que podemos fazer com eles? Que teoremas ainda são válidos? Quais axiomas poderiam ser propostos? Que teoria matemática útil poderia ser construída a partir deles?

por **norberto** » Qua Mai 18, 2011 22:45

Oi (de novo) Jorge :

Pelo que pude perceber, você ainda deve estar no início do curso de Bacharelado
e ainda não tocaram nestas questões específicas. Você já ouviu falar num cara
chamado Georg Cantor ? Ele considerou que o conjunto dos Naturais era contável e
também o eram os Inteiros e os Racionais. Até aí tudo bem.

Meu problema não passa pela enuberabilidade dos Naturais.
Quando você estudar o Peano, vai ver que os Naturais são "endereçados" por uma
função chamada "sucessor". O sucessor de um número Natural n é n+1.

Por exemplo, o sucessor(0) é 0+1, ou seja 1. Já o sucessor(1) é 1+1, ou seja, 2.
Podemos pensar que, começando de 0, achar sucessores sucessivos é o mesmo
que "contar" quantas vezes fizemos "n+1".

Eu vivia bastante feliz com essa explicação. Mas aí, o artigo do cara me fez um alerta.
Todo Natural possui "necessariamente" um número finito de dígitos. Suponha também
que tenhamos 10 símbolos à disposição (de 0 a 9). Não consigo entender como um número
com estas características :

(a) Possua um número finito de dígitos ;
(b) Cada dígito seja representado por um símbolo ;
(c) Os símbolos são tirados de um conjunto finito (de 0 a 9).

Possa ser infinito.

Por exemplo, se eu te perguntasse quantos números você pode formar
com estes 10 símbolos "contanto que os números que você formar possuam
uma quantidade finita de dígitos", você certamente não poderia me responder.
Mas certamente você só poderia formar um número finito de "números". visto que :

${10}^{finito1} = finito2$

Eu não concordo totalmente com o cara lá do artigo. Ele chega a afirmar que
os Reais são contáveis também. Estou estudando sua "prova".

Quanto ao fato de isso ser filosofia, e não matemática, concordo em certos aspectos.
O que o Georg Cantor fez, por exemplo, foi matemática e não filosofia. Acho que isso
é matemática, mas é "fundamento da matemática", e não "aplicação prática" da matemática.

Alguém aí poderia esclarecer esta dúvida ?

Abraços

por **MarceloFantini** » Qui Mai 19, 2011 08:00

Bom, pra começar nos axiomas de Peano existe o número 1 que não é sucessor de nenhum outro. Zero não está no conjunto dos naturais de Peano. O que você entende por número infinito? O conceito por trás de que o conjunto dos naturais é infinito é que não é possível saber todos os elementos que existem nele, apenas enumerá-los. Não existe número sem fim, mas existem um conjunto de números finitos sem fim.

por **norberto** » Qui Mai 19, 2011 14:53

Oi Marcelo !

Obrigado por responder.
Na verdade, os Axiomas de Peano assumem inicialmente que "0" é
um número e que não precisamos definir o que é "0". Quem
começa definindo os números com "1" é o Dedekind. Pelo que você
tá dizendo, podemos então dizer que :

- O conjunto formado por todas as estrelas é infinito
- Todo os pensamentos que eu posso ter, formam um conjunto infinito

Pois também sei que posso enumerar estes conjuntos, mas não sei quantos
elementos cada um tem. Não poder ser definido significa indeterminado.
Infinito quer dizer outra coisa.

Independente disto, podemos considerar a seguinte variação resumida
dos axiomas de Peano.

- 0 é o único número que não é sucessor de nenhum outro
- O sucessor s(n) de um número n é n+1

Claro que esta versão é beeeemmm resumida mesmo. Podemos
pensar que ao aplicarmos o cálculo de sucessor de 0, n vezes
recursivamente, estaremos definindo o número n.

Por exemplo :

(a) Usar s(0) uma vez resulta no conjunto :

1 = { 1 }

(b) Usar s(0) 3 vezes, resulta no conjunto :

3 = { 1, 2, 3 }

(c) Usar s(0) n vezes, resultará no conjunto :

n = { 1, 2, 3, 4, ... , n }

Estamos aqui, relacionando a definição de n com o cálculo recursivo
do sucessor de 0.

Mas o que isso tem a ver com minha dúvida ?

Espero que você não rebata imediatamente essa colocação. Pense
bem nela antes.

- Se n é um número natural
- Se n é finito
- Se n é o número de vezes que calculamos o sucessor de 0 recursivamente

Então não podemos dizer que existem infinitos sucessores de 0,
pois n é justamente o número de sucessores de 0.

Pense bem. Por um lado, não temos nenhum problema em assumir
que 0 possui infinitos sucessores. Mas para que um número n seja
finito, temos que considerar o conjunto :

n_finito = { 1, 2, 3, 4, .... , n_finito }

Nem de longe podemos dizer que este conjunto é infinito.

Não vejo como conciliar as duas coisas.

(1) Os Naturais são números finitos
(2) O Conjunto dos Naturais é infinito

Estou começando a duvidar de mim mesmo e concordar com o cara
lá do artigo. Mas sei que matemática não se trata de crença pessoal.

Alguém poderia demonstrar que é possível escrever um número
n com uma quantidade finita de dígitos (Um número Natural), e
em seguida demonstrar que o conjunto de 1 a n é infinito ?

Ou melhor, dar uma lida lá no material do cara e ver onde
ele se enganou ?

Marcelo, como você tem acesso a professores universitários,
será que você não poderia levar essa questão para algum deles ?
Claro que talvez isso seja pedir muito.

Mas eu juro que isso está me enlouquecendo.

Abraços

por **MarceloFantini** » Qui Mai 19, 2011 18:51

É claro que para

finito, o conjunto $I_n = \{ 1, 2, 3, ..., n \}$ é finito. Isto é bom e serve para definir o que é um conjunto finito: dizemos que um conjunto X é finito quando é vazio ou então existem $n \in \mathbb{N}$ e uma bijeção $f: I_n \to X$ . Escrevendo x_1 = f(1)

,

, ...,

temos então $X = \{ x_1, x_2, ... , x_n \}$ . A bijeção f chama-se uma contagem dos elementos de X e o número n chama-se o número de elementos, ou número cardinal do conjunto finito X.

Partindo disto, podemos provar um corolário que diz que um subconjunto $X \subset \mathbb{N}$ é finito se, e somente se, é limitado. Usando disso, é fácil de perceber que o conjunto dos naturais é infinito, pois não existe $n \in \mathbb{N}$ tal que exista uma bijeção $f: I_n \to \mathbb{N}$ , ou seja, o conjunto dos números naturais não é limitado.

Espero que isso esclareça de uma vez. Caso tenha mais dúvidas, eu tirei boa parte do livro de Análise Real volume 1 escrito pelo Elon Lages Lima, é o primeiro capítulo.

por **norberto** » Sex Mai 20, 2011 00:41

Fala, Marcelo !

Estou de acordo com muitas coisas que você diz e em desacordo com outras. Já tinha fuçado esta
demonstração que você citou.

É verdade que

Dado um subconjunto

de $\mathbb{N}$
Dado o conjunto finito ${I}_{n}$ com n elementos
Se houver uma bijeção $f : {I}_{n} \rightarrow X$
Então

é finito.

Mas o contrário não é verdadeiro

Dado um subconjunto

de $\mathbb{N}$
Dado o conjunto finito ${I}_{n}$ com n elementos
Se

é finito

Não implica que haja uma bijeção $f : {I}_{n} \rightarrow X$

Mas implica que deva existir um outro conjunto finito ${J}_{m}$ , com o número finito m de elementos,
tal que a bijeção $f : {J}_{m} \rightarrow X$ exista.

O fato de ${J}_{m}$ ser determinável ou não, são outros quinhentos.

Vamos ilustrar isso com dois problemas

O PRIMEIRO PROBLEMA DO POÇO

Dado um conjunto X com ${10}^{5}$ bolinhas de gude, cada uma com o volume de $1 {cm}^{3}$

Dado um poço P com capacidade de ${10}^{5} {cm}^{3}$

Pergunta-se :

(a) Há bijeção entre X e P ?
(b) A capacidade de P em termos de bolinhas de gude, é finita ?

O SEGUNDO PROBLEMA DO POÇO

Dado um conjunto X com ${10}^{5}$ bolinhas de gude, cada uma com o volume de $1 {cm}^{3}$

Dado um poço P com capacidade de ${10}^{5} {cm}^{3}$

Dado um poço Q maior que P

Pergunta-se

(a) Há bijeção de X em Q ?
(b) A capacidade de Q em termos de bolinhas de gude, é finita ?

Se P e Q são poços que a gente pode encontrar por aí, as respostas são :

(A1) Sim. Há bijeção de X em P
(A2) Sim. Ela é de ${10}^{5}$ bolinhas

(B1) Não.
(B2) Sim. Ela é de "INDETERMINADO" bolinhas

Tenho observado diversas "provas" de que $\mathbb{N}$ é infinito, mas todas dão voltas sobre o mesmo ponto.

Se quisermos ser honestos conosco, basta-nos provar que :

(a) Se um número Natural possui uma quantidade finito1 de dígitos
(b) Se cada dígito só puder ser escrito com um dos 10 símbolos { 0 a 9 }
(c) Seja

o conjunto formado por todos os números que pudermos escrever, dadas as limitações acima

A quantidade de números que podemos escrever ( o número de elementos, ou a cardinalidade
do conjunto de todos os números) é dada por :

$|N| = {10}^{finito1}$

Por exemplo, se finito1 = 2, formaremos o conjunto

= { 0, 1, 2, 3, ... , 99 }

com cardinalidade $|N| = {10}^{2}$

Seja finito1 um número finito qualquer, a cardinalidade de

é ${10}^{finito1}$

Como ${10}^{finito1}$ é um número finito, isso implica que a cardinalidade de

, também é finita.

O problema se assemelha demais ao segundo problema do poço.
Dizem que os Naturais possuem um número finito de dígitos, mas não dizem que número finito é esse.
Isso nos impede de fazer a bijeção, mas não significa que sua cardinalidade é infinita.

Entendeu minha dor de cabeça ?
Eu te recomendo o seguinte.
Esquece por um momento que os Naturais formam um conjunto infinito.
Observe que ${10}^{finito1}$ , usa finito1 para dizer a quantidade de dígitos que podemos
utilizar em cada nome.
Agora me diga, se com um número finito1 de dígitos, podemos formar uma quantidade infinita de números.

Tava pesquisando sobre o cara que escreveu o artigo. Ele diz que é um matemático amador
mas não diz se é formado em alguma coisa. Queira ou não queira, ele faz afirmações muito
intrigantes.

Se você ou alguém que esteja lendo este post puder ajudar, agradeço enormemente.

por **Jorge Rodrigo** » Sex Mai 20, 2011 02:20

Boa noite, Noberto, tudo bem?

Na verdade estou no segundo périodo, sendo que estou cursando somente três disciplinas a saber matemática elementar, introdução à álgebra e computação I. Pois meu primeiro período não foi muto bom, infelizmente (só garanti geometria euclideana, analítica plana e produção de textos). E realmente ainda não estudei esses assuntos, mas confesso que fiquei fascinado!

Bom, quando meus conhecimentos melhorarem a cerca da matemática, participarei mais ativamente dessas aulas de vocês.... até lá ficarei como espectador...

Abraços...

norberto escreveu:Oi (de novo) Jorge :

Pelo que pude perceber, você ainda deve estar no início do curso de Bacharelado
e ainda não tocaram nestas questões específicas. Você já ouviu falar num cara
chamado Georg Cantor ? Ele considerou que o conjunto dos Naturais era contável e
também o eram os Inteiros e os Racionais. Até aí tudo bem.

Meu problema não passa pela enuberabilidade dos Naturais.
Quando você estudar o Peano, vai ver que os Naturais são "endereçados" por uma
função chamada "sucessor". O sucessor de um número Natural n é n+1.

Por exemplo, o sucessor(0) é 0+1, ou seja 1. Já o sucessor(1) é 1+1, ou seja, 2.
Podemos pensar que, começando de 0, achar sucessores sucessivos é o mesmo
que "contar" quantas vezes fizemos "n+1".

Eu vivia bastante feliz com essa explicação. Mas aí, o artigo do cara me fez um alerta.
Todo Natural possui "necessariamente" um número finito de dígitos. Suponha também
que tenhamos 10 símbolos à disposição (de 0 a 9). Não consigo entender como um número
com estas características :

(a) Possua um número finito de dígitos ;
(b) Cada dígito seja representado por um símbolo ;
(c) Os símbolos são tirados de um conjunto finito (de 0 a 9).

Possa ser infinito.

Por exemplo, se eu te perguntasse quantos números você pode formar
com estes 10 símbolos "contanto que os números que você formar possuam
uma quantidade finita de dígitos", você certamente não poderia me responder.
Mas certamente você só poderia formar um número finito de "números". visto que :

${10}^{finito1} = finito2$

Eu não concordo totalmente com o cara lá do artigo. Ele chega a afirmar que
os Reais são contáveis também. Estou estudando sua "prova".

Quanto ao fato de isso ser filosofia, e não matemática, concordo em certos aspectos.
O que o Georg Cantor fez, por exemplo, foi matemática e não filosofia. Acho que isso
é matemática, mas é "fundamento da matemática", e não "aplicação prática" da matemática.

Alguém aí poderia esclarecer esta dúvida ?

Abraços

por **MarceloFantini** » Sex Mai 20, 2011 13:53

Dado um subconjunto de
Dado o conjunto finito com n elementos
Se houver uma bijeção
Então é finito.

Mas o contrário não é verdadeiro

Dado um subconjunto de
Dado o conjunto finito com n elementos
Se é finito

Não implica que haja uma bijeção

Mas implica que deva existir um outro conjunto finito , com o número finito m de elementos,
tal que a bijeção exista.

Sim, no entanto isso não serve de nada na discussão.

(B2) Sim. Ela é de "INDETERMINADO" bolinhas

Indeterminado para você é finito? Por favor, suponha agora num assunto não relacionado um sistema possível e indeterminado. Explicite todas as soluções já que são finitas pois é indeterminado.

Dizem que os Naturais possuem um número finito de dígitos, mas não dizem que número finito é esse.
Isso nos impede de fazer a bijeção, mas não significa que sua cardinalidade é infinita.

Os naturais não possuem um número finito de dígitos. Um número natural possui um número finito de dígitos. Os naturais são um CONJUNTO. O que é afirmado é que qualquer número natural pode ser escrito com um número finito de algarismos, que são de 0 a 9.
A bijeção não existe entre um conjunto finito e os naturais.

Agora me diga, se com um número finito1 de dígitos, podemos formar uma quantidade infinita de números.

O seu "finito1" não é FIXO. Ele está variando.

Tava pesquisando sobre o cara que escreveu o artigo. Ele diz que é um matemático amador
mas não diz se é formado em alguma coisa. Queira ou não queira, ele faz afirmações muito
intrigantes.

Bom, já não confio na lógica do cara, sabendo que ele é um "matemático" amador pior ainda. Ele não pode provar as afirmações dele, então não são intrigantes pois não fazem sentido.

Pense que o número finito VARIA. Ele NÃO É FIXO. SEMPRE é possível encontrar um maior, logo, o conjunto NUNCA é limitado.

por **norberto** » Sex Mai 20, 2011 17:06

Mas o contrário não é verdadeiro

Dado um subconjunto de
Dado o conjunto finito com n elementos
Se é finito

Não implica que haja uma bijeção

Sim, no entanto isso não serve de nada na discussão.

Como assim não serve ?
Não foi você mesmo que utilizou esse exemplo ?
Quer dizer que servia antes, mas agora nã serve mais ?

(B2) Sim. Ela é de "INDETERMINADO" bolinhas

Indeterminado para você é finito?

Poxa ! Parece que você nem tá lendo...
No caso do poço Q, claro que sua capacidade é finita. Onde já se viu um poço de capacidade infinita ?

Por favor, suponha agora num assunto não relacionado um sistema possível e indeterminado. Explicite todas as soluções já que são finitas pois é indeterminado.

Desculpe, mas tenho que repetir. A capacidade do poço Q é finita, com certeza. Mas, como não temos informações
suficientes sobre ele, por ora, esse valor é indeterminado. Assim como o valor de x na questão.

(1) Calcule o valor numérico de x em :

x = a + b

Ele continua indeterminado em :

(2) Se a = 3, calcule o valor de x em :

x = a + b

Mas agora ele vai ser determinado :

(3) Se a = 3 e b = 2, calcule x em :

x = a + b

Dizem que os Naturais possuem um número finito de dígitos...

Os naturais não possuem um número finito de dígitos. ... Os naturais são um CONJUNTO.

Pôxa de novo !

Pensei que ao escrever "os naturais", estivesse claro que eu me referia aos números em si.
Se eu quisesse falar do conjunto, talvez eu escrevesse "o conjunto dos naturais".

Bom, já não confio na lógica do cara, sabendo que ele é um "matemático" amador pior ainda.

Pôxa pela terceira vez ! Que preconceito hein ?
Então esquece tudo que Fermat escreveu tá ? Ele era advogado.

Ele não pode provar as afirmações dele,

Pelo contrário. Eu e você é que não conseguimos provar o contrário do
que ele afirma. Mas ao contrário de você, eu vou continuar tentando, por
achar que tem algum furo.

Abraços.

por **LuizAquino** » Sex Mai 20, 2011 17:39

Olá norberto,

Vamos imaginar que cada número natural seja "representado" como uma matriz com 1 linha e n colunas. Vamos chamar n de número de casas.

Por exemplo, o número natural 123 seria representado pela matriz $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}$ , tendo portanto 3 casas.

Sabemos que o conjunto formado por todos os números naturais é ilimitado superiormente (ou seja, não possui um máximo e portanto é infinito). Entretanto, pense no maior número natural que você conseguir imaginar. Agora, reflita sobre a pergunta: esse número tem infinitas ou finitas casas?

Por outro lado, vamos imaginar que cada número real também seja "representado" dessa forma matricial, reservando inclusive uma coluna para o separador (quando houver) de parte inteira e parte fracionária. Use a mesma definição de "casas" dada anteriormente.

Por exemplo, o número real 1,23 seria representado pela matriz $\begin{bmatrix}1 & , & 2 & 3\end{bmatrix}$ , tendo portanto 4 casas.

Agora, reflita sobre essa outra pergunta: há algum número real com infinitas casas?

Eu espero que essas perguntas lhe ajudem a chegar na seguinte conclusão:
O fato de um conjunto numérico ter todos os seus elementos representados com finitas casas, não implica necessariamente que esse conjunto é finito.

por **dmeneiz** » Sex Mai 20, 2011 17:59

Amigo estou quase entendendo sua questão. Só não sei de onde voce tirou a idéia de que os naturais possuem uma quantidade finita de dígitos.

por **norberto** » Sáb Mai 21, 2011 00:07

Olá Luiz.

Obrigado por responder.
Juro que quando li teu post, fiquei bastante animado, achando que finalmente
teria achado o "furo" lá do artigo do Fernando Montequio.

Segui todas as instruções :

(1) Pense no maior número que você puder :

Pensei.
Ops! quer dizer, sei que ele não é o maior.
Desisto. Não consigo pensar em um que seja o maior.
Mas não se preocupe. Entendi o "espírito".

(2) Este número possui finitas "casas" ?

De acordo com a definição de número natural, certamente sim.

(3) Pense agora nos reais. Existe algum real com infinitas casas decimais ?

Sim. Pi, raiz de 2, são números com infinitas casas decimais.
Pra ser franco, não sei se já provaram isso. Mas sempre acreditei que sim.
Vou assumir que sim.

Eu espero que essas perguntas lhe ajudem a chegar na seguinte conclusão:
O fato de um conjunto numérico ter todos os seus elementos representados com finitas casas, não implica necessariamente que esse conjunto é finito.

Por um momento eu pensei "Eureka" !

Voltei lá no artigo para ler de forma "diferente" do que eu havia lido a primeira vez.
Mas aí, me veio a constatação de que isso reforça ainda mais a posição do artigo. A de que os números naturais, tal como os conhecemos,
não são suficientes para descrever quantidades infinitas.

A medida que eu "aumento" a quantidade de colunas do primeiro exemplo, eu aumento a ordem de grandeza dos números que podem ser representados por esta matriz.

[ 1 2 3 ], por exemplo tem $10^{3}$ como ordem de grandeza.

[1 2 3 9] tem $10^{4}$

Pela própria definição da matriz, só posso pensar em números de grandeza $10^{finito}$ .
Já no segundo exemplo, a cada coluna que eu adicionar, eu aumento, digamos, a precisão dos números que esta matriz pode representar.

[1 , 2 3 ] tem precisão $10^{-2}$

[1 , 2 3 9 ] tem precisão $10^{-3}$

Aqui que surge o grande problema.
Enquanto que a primeira matriz é, de certa forma limitada, de modo que só pensar em grandezas de $10^{finito}$ , a segunda
me permite pensar em uma precisão de $10^{-infinito}$

Qual conclusão eu tiro disto ?

Que a precisão da segunda matriz, precisão esta que podemos chamar de "número de casas decimais", não pode ser expressa por nenhum número formado na primeira matriz.
Nenhum dos $10^{finito}$ dos possíveis números na primeira matriz descreve a quantidade de casas do segundo exemplo (Antes que o fantini venha dizer que meu finito está variando, quero adiantar que não. Ele só não foi informado.) , justamente pelo fato de que $10^{finito}$ nunca vai
poder descrever o infinito

número de "casas" da segunda matriz, não importando o quão grande este finito seja.

Quando li o artigo do Montequio a primeira vez, não percebi que era isso mesmo que ele tava demonstrando.
Depois de ler o teu post e ler o artigo de novo, é que percebi.
Por um lado foi bom, pois comecei a entender melhor o ponto de vista dele.
Mas ainda estou com a sensação de que "algo está errado".

Super abraço.

Oi dmeneiz !

Isto é um senso comum. Diga um número natural qualquer, que possua infinitos dígitos. Percebeu ?

Um abraço.

por **LuizAquino** » Sáb Mai 21, 2011 10:29

norberto escreveu:(...)
(1) Pense no maior número que você puder :
Pensei.
Ops! quer dizer, sei que ele não é o maior.
Desisto. Não consigo pensar em um que seja o maior.
Mas não se preocupe. Entendi o "espírito".
(...)

Ok. Ao que parece você já voltou a convencer-se que não há o maior natural. Isso já é o primeiro passo para sanar a sua dúvida.

norberto escreveu:(...)
A medida que eu "aumento" a quantidade de colunas do primeiro exemplo, eu aumento a ordem de grandeza dos números que podem ser representados por esta matriz.

[ 1 2 3 ], por exemplo tem $10^{3}$ como ordem de grandeza.

[1 2 3 9] tem $10^{4}$

Pela própria definição da matriz, só posso pensar em números de grandeza $10^{finito}$ .
(...)

Por que? Note que você pode adicionar quantas casas precisar para representar o número. Ou seja, não há um número máximo fixo k de casas. É aqui que mora a fonte de suas dúvidas!

Se você ainda não convenceu-se disso, vamos fazer um exercício.

Vamos imaginar por um momento que haja esse número máximo k de casas. Desse modo, o número [9 9 9 ... 9] (com k casas) seria o maior natural possível. Ops! Isso é uma contradição! Como você mesmo havia percebido antes, não pode haver o maior natural!

Além disso, note que podemos obter outra contradição quando partimos dessa suposição de termos no máximo k casas. O número natural acima tem o sucessor com k+1 casas: [1 0 0 0 ... 0].

por **norberto** » Sáb Mai 21, 2011 18:03

Oi Luiz !

Li e reli o post um bocado de vezes, com um único propósito.
Me convencer.

Mas as coisas continuam fazendo sentido por um lado e não fazendo nenhum sentido por outro.

Por exemplo quando eu digo que :

Pela própria definição da matriz, só posso pensar em números de grandeza $10^{finito}$ .

Você me pergunta :

Por que? Note que você pode adicionar quantas casas precisar para representar o número.

A resposta que me vem, de imediato é :

número de casas = número finito logo, só posso pensar em grandezas $10^{finito}$ .

Há realmente uma contradição. Eu posso realmente adicionar quantas casas precisar para representar o número ?
Note que há uma limitação inserida de forma implícita. Na verdade Eu posso adicionar qualquer quantidade finita de casas que eu precisar.

Quando você diz que :

... não há um número máximo fixo k de casas.

Eu concordo. Nunca duvidei disso e talvez, essa certeza é que esteja me fazendo ver essa questão como um grande paradoxo.
Eu penso que :

Não há um número máximo fixo k de casas. Por outro lado, existe uma limitação. A de que o número de casas é finito.

Você consegue perceber que isto é uma limitação ?
Por exemplo, podemos considerar aqui 2 tipos de limitação.

(1) Existe um número k de casas. Ele é de, digamos, 47.

Esta seria uma limitação explícita. Poderíamos concluir que $10^{k} = 10^{47}$

Outra seria :

(2) Existe um número K finito de casas.

Esta é uma limitação implícita. Poderíamos concluir que $10^{k}$ produz um número finito, mas indeterminado, ou indeterminável.
Isso é ou não uma limitação ?

Quando você sugere :

Vamos imaginar por um momento que haja esse número máximo k de casas.

Eu preciso te lembrar que nunca considerei este número definido, tal como 47 o é. Sendo assim, não vejo problemas e seguir sua recomendação e fazer essa consideração. Disto se conclui que :

Deste modo, o número [9 9 9 9 ... 9 9 9 9 ] (com k casas) seria o maior natural possível.

Lembre-se que essa afirmação é válida tanto para essa abstração em particular quanto para nosso sistema numérico tradicional.
Ao afirmarmos que "não existe o maior número natural", isto se deve única e exclusivamente ao fato de k, ou seja, o número de casas,
um mero número finito, não ter sido informado, e não ao fato de o conjunto dos números de

a $10^{k} -1$ ser infinito por natureza,
pois esse conjunto tem exatamente $10^{k}$ elementos.
Se k fosse informado, teríamos como maior número natural exatamente o representado pela matriz acima.

Ops! Isso é uma contradição! Como você mesmo havia percebido antes, não pode haver o maior natural!

Exatamente. Não posso pensar no maior natural, justamente por que k não foi informado. Mas isso não significa
que a matriz [ 9 9 9 ... 9 9 9] tem infinitas casas, pois ela tem exatamente k casas.
Nem que o conjunto :

MATRIZES_9 = { [9], [9 9], [9 9 9], ... [9 9 9 ... 9 9 9] }

Possua infinitos elementos, pois ele possui exatamente k elementos. E também não significa
que o conjunto :

MATRIZES = { [ 0 ], [ 1 ], ... [ 9 ], [ 1 0 ], [ 1 1 ], [ 1 2 ], ... [ 9 9 9 ... 9 9 8 ], [ 9 9 9 ... 9 9 9 ] }

Tenha infinitos elementos, pois o mesma possui exatamente $10^{k}$ elementos.

Além disso, note que podemos obter outra contradição quando partimos dessa suposição de termos no máximo k casas. O número natural acima tem o sucessor com k+1 casas: [1 0 0 0 ... 0].

Ops ! Você se esqueceu de como você definiu k.

Vamos imaginar por um momento que haja esse número máximo k de casas.

O problema, na verdade está bastante claro pra mim. Existe um paradoxo. Não vejo como deixar de vê-lo.
Por exemplo, se você se deparasse com a seguinte questão :

(q) Considere o número natural finito n. O que podemos afirmar de $10^{n}$ ? E de $341^{n}$ ?

Algumas respostas válidas seriam.

r1. O primeiro é par e o segundo é ímpar.
r2. O segundo é um número finito maior que o primeiro.

Ou não ?

Quero, antes de terminar, de te agradecer enormemente pelas respostas.
Elas foram de uma utilidade enorme para que eu entendesse o texto do Montequio.
Mas ainda continuo vendo um grande paradoxo nisso tudo.
E você ?

Grandes abraços.

por **LuizAquino** » Dom Mai 22, 2011 10:01

Olá noberto,

Na minha opinião, você está andando em círculos! *-)

noberto escreveu:Eu concordo. Nunca duvidei disso e talvez, essa certeza é que esteja me fazendo ver essa questão como um grande paradoxo.
Eu penso que :
Não há um número máximo fixo k de casas. Por outro lado, existe uma limitação. A de que o número de casas é finito.

Não há paradoxo nessa afirmação. Isso porque, apesar de cada número ter uma quantidade de casas finita, essa quantidade pode variar (ilimitadamente) de um número para o outro (isto é, não há uma quantidade máxima de casas).

Apenas quando você convencer-se disso é que irá parar de correr em círculos. Infelizmente, por mais que eu queira ajudar, isso é algo que só você pode fazer.

noberto escreveu:(q) Considere o número natural finito n. O que podemos afirmar de $10^{n}$ ? E de $341^{n}$ ?
Algumas respostas válidas seriam.
r1. O primeiro é par e o segundo é ímpar.
r2. O segundo é um número finito maior que o primeiro.

Considerando que "natural finito" ou "número finito" quer dizer que o número tem finitas casas, ambas as respostas estão corretas.

Observação

noberto escreveu:
Além disso, note que podemos obter outra contradição quando partimos dessa suposição de termos no máximo k casas. O número natural acima tem o sucessor com k+1 casas: [1 0 0 0 ... 0].

Ops ! Você se esqueceu de como você definiu k.

Vamos imaginar por um momento que haja esse número máximo k de casas.

Não há problema algum com a argumentação que fiz. Na verdade, ela segue a técnica conhecida como "redução ao absurdo" ou "prova por absurdo". Eu fiz a suposição que havia um k máximo de casas. Entretanto, ao tomar o sucessor do número (o que posso fazer já que todo natural tem sucessor), eu obtive um outro número com k+1 casas. Ora, mas isso é absurdo, pois k já seria o máximo. Conclusão: não pode haver um k máximo.

por **norberto** » Dom Mai 22, 2011 20:33

Olá Luiz !

Tava lendo teu post. Você diz :

Na minha opinião, você está andando em círculos!

Isso é a mais pura verdade. Espero que você não esteja dizendo isso de forma depreciativa.
Mas que estou andando em círculos, isso eu estou mesmo.

Mas alguns mal entendidos foram cometidos, na minha opinião.
Quando eu disse:

Eu concordo. Nunca duvidei disso e talvez, essa certeza é que esteja me fazendo ver essa questão como um grande paradoxo.

Eu não estava me referindo à frase seguinte.

Não há um número máximo fixo k de casas. Por outro lado, existe uma limitação. A de que o número de casas é finito.

Pois quanto a isso, eu e você concordamos plenamente. Isso pode ser observado na sua afirmação :

Não há paradoxo nessa afirmação. Isso porque, apesar de cada número ter uma quantidade de casas finita, essa quantidade pode variar (ilimitadamente) de um número para o outro (isto é, não há uma quantidade máxima de casas).

O Paradoxo que eu me refiro, é outro, sobre o qual falaremos daqui a pouco.
Sob sua opinião que :

Apenas quando você convencer-se disso é que irá parar de correr em círculos. Infelizmente, por mais que eu queira ajudar, isso é algo que só você pode fazer.

Isto tornaria a matemática uma questão de fé. Deus existe ? E matinta-pereira ?
Não. Isso não é algo que dependa exatamente de mim.

Sempre achei teus argumentos uma excelência. Mas realmente, peço desculpas por não ter entendido o exemplo do "k+1". Sinceramente, achei que a afirmação não cabia, pois partimos já da presunção que k era máximo. Se quiséssemos provar que k não poderia ser máximo, baseado na afirmativa de que "todo número natural tem um sucessor", não precisaríamos da matriz. O argumento seria simples :

. Suponha que K seja um número máximo ;
. Considere que K+1 é o sucessor de K.

Como as duas afirmações levam a uma contradição, qualquer uma delas poderia ser falsa se considerássemos a outra verdadeira.
Mas como eu disse, isso pode ser um erro de interpretação MEU.

Então, para que se evitem outras confusões desse tipo, acho melhor deixar bem claro as coisas que concordamos.

I. Não podemos dizer que exista um número k máximo de "casas", na formação de um número natural.
II. O número de "casas", porém é finito.
III. Isto não é um paradoxo.

Ok ? É isso mesmo que acreditamos, não é ?

Agora observe como há um paradoxo aqui.

Quando eu sugeri :

(q) Considere o número natural finito n. O que podemos afirmar de $10^{n}$ ? E de $341^{n}$ ?
Algumas respostas válidas seriam.
r1. O primeiro é par e o segundo é ímpar.
r2. O segundo é um número finito maior que o primeiro.

E você considerou :

Considerando que "natural finito" ou "número finito" quer dizer que o número tem finitas casas, ambas as respostas estão corretas.

Este acaba se tornando o fato número 4 em que concordamos. E eu sou obrigado a te dizer :

- Bem vindo ao círculo !

r2 pode ser desmembrada em :

$10^{n}$ é finito

$341^{n}$ é finito

$341^{n}$ é maior que $10^{n}$

Você atentou que $10^{n}$ pode ser traduzido por :

A quantidade de "números" do conjunto formado com 10 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0) e n "casas" (sendo n finito)?
E que os naturais são "números" formados por estes 10 dígitos, e pelo que concordamos em II, eles possuem um número finito de casas ?
E que há um paradoxo em :

considerarmos r2 verdadeira, mas considerarmos que o conjunto dos naturais é infinito ?

E este é o paradoxo ao qual me referi.

Meu primeiro impulso para resolvê-lo, é me agarrar com unhas e dentes à afirmação I. E o seu ?
Infelizmente (para mim, pelo menos) esta afirmação não possui força suficiente para resolver o paradoxo.
Ao contrário, a força embutida no que concordamos em II é inquestionável.

Existem apenas, exatamente duas maneiras de considerarmos que com B símbolos e n casas, formemos um conjunto com infinitos números.
Uma delas é se considerarmos que os B símbolos sejam infinitos. A outra é se assumirmos que podemos formar "números" com infinitas casas.
Pois a quantidade de números que podemos formar com B símbolos e n casas, é dado por :

$B^{n}$

O que sobra como "bóia de salva vidas" é o que concordamos em I
Qual é a verdadeira "ilimitação" (desculpe o termo) imposta por essa afirmativa ?
O que significa "não haver um valor máximo" ? Isto é negado por II ?

Na verdade, não. A questão é deveras similar à que acabamos de fazer. Dado um número finito n, o que podemos afirmar sobre $10^{n}$ ?

Na questão, deixamos de informar n.
Na teoria, é o que I tenta garantir. Que n seja indeterminado.

Há uma certa elegância nesse fato. Dado qualquer naturalN, o qual, por ser finito, temos que o conjunto formados pelos números de 0 a N
é certamente um conjunto finito. Não podemos pensar em nenhum natural N com o qual formemos o conjunto de números de 0 a N com
infinitos elementos, pois o conjunto terá exatamente N + 1 elementos.

Logo, o que considero como PARADOXO é a conclusão disto tudo.

O conjunto dos naturais possui infinitos elementos, todos finitos.

Ora como "TODOS" os naturais possui finitas casas, não posso imaginar como isso seria possível.
Acho que a adaptação :

O conjunto dos naturais possui um número indeterminável de elementos, todos finitos.

Ou ainda :

O conjunto dos naturais possui apenas números finitos, é finito, mas não existe um último elemento.

Seriam afirmações mais "corretas".

Talvez, isso seja a tradução exata do termo "potencialmente infinito". Algo essencialmente finito. Mas sem um último elemento, ou melhor, sem um "fim".

Diacho de paradoxo !
O que você acha ?

Mais uma vez, super super, super obrigado pela clareza, pela concisão e pela atenção.

Grandes abraços.

por **dmeneiz** » Dom Mai 22, 2011 23:36

Annnn... amigo agora que eu estou entendendo o que voces estão falando.

por **LuizAquino** » Seg Mai 23, 2011 00:15

Sob sua opinião que :
Apenas quando você convencer-se disso é que irá parar de correr em círculos. Infelizmente, por mais que eu queira ajudar, isso é algo que só você pode fazer.

Isto tornaria a matemática uma questão de fé. Deus existe ? E matinta-pereira ?
Não. Isso não é algo que dependa exatamente de mim.

O que a minha afirmação significa é que, como você está enxergando um paradoxo onde não há, você está andando em círculos. Se alguém decide andar em círculos, por mais que outra tente ajudá-la a parar, apenas a própria pessoa pode fazê-lo quando finalmente entender que está andando em círculos.

Sempre achei teus argumentos uma excelência. Mas realmente, peço desculpas por não ter entendido o exemplo do "k+1". Sinceramente, achei que a afirmação não cabia, pois partimos já da presunção que k era máximo. Se quiséssemos provar que k não poderia ser máximo, baseado na afirmativa de que "todo número natural tem um sucessor", não precisaríamos da matriz. O argumento seria simples :

. Suponha que K seja um número máximo ;
. Considere que K+1 é o sucessor de K.

Como as duas afirmações levam a uma contradição, qualquer uma delas poderia ser falsa se considerássemos a outra verdadeira.
Mas como eu disse, isso pode ser um erro de interpretação MEU.

Note que o que queremos é justificar que não há um número máximo k de casas, e não que k é o "maior" natural. Por esse motivo é que não pegamos o "sucessor" de k, mas sim daquele número com k casas para que tivéssemos um outro número com k+1 casas.

I. Não podemos dizer que exista um número k máximo de "casas", na formação de um número natural.
II. O número de "casas", porém é finito.
III. Isto não é um paradoxo.

As três afirmações são verdadeiras.

Logo, o que considero como PARADOXO é a conclusão disto tudo.

O conjunto dos naturais possui infinitos elementos, todos finitos.

Ora como "TODOS" os naturais possui finitas casas, não posso imaginar como isso seria possível.

Primeiro, escrevendo de forma mais conveniente a afirmação: "O conjunto dos naturais possui infinitos elementos, todos com uma quantidade finita de casas".

E agora volto a dizer: isso não é um paradoxo!

O que faz isso não ser um paradoxo é o fato de que apesar de todo número natural ter uma quantidade de casas limitada, essa quantidade pode variar ilimitadamente, já que não há uma quantidade máxima de casas.

por **norberto** » Seg Mai 23, 2011 01:35

Oi luiz !

Não pude deixar de notar que você se esqueceu de atualizar a lista de coisas em que concordamos.

I. Não podemos dizer que exista um número k máximo de "casas", na formação de um número natural.
II. O número de "casas", porém é finito.
III. Isto não é um paradoxo.
IV. A resposta r2 está correta.

LuizAquino escreveu:As três afirmações são verdadeiras.

Mas você também havia concordado com IV, não havia ?

Agora vamos nos ater à sua "correção" da frase :

O conjunto dos naturais possui infinitos elementos, todos finitos.

A qual se tornaria mais conveniente se fosse escrita :

O conjunto dos naturais possui infinitos elementos, todos com uma quantidade finita de casas.

Apesar de eu considerar as duas corretas, pois todo número natural é um número finito (ou não ?), considero sua correção mais "de acordo" com o tópico.

Abreviemos como q a frase "quantidade finita de casas".
Como $10^{q}$ é especificamente, o número de elementos de um conjunto, cujos elementos são escritos pela combinação de
10 símbolos (de 0 a 9) e q, talvez fosse ainda mais conveniente escrever.

O conjunto dos naturais possui $10^{q}$ elementos, todos com uma quantidade finita de casas

Ou ainda

O conjunto dos naturais possui $10^{q}$ elementos, todos com uma q

Agora abreviemos como Q, a frase "QUALQUER quantidade finita de casas"

Concordamos em IV que $10^{Q}$ é um número finito. E ainda é par.

E você não vê nenhum paradoxo nisso ?
Não há um paradoxo em dizer que o conjunto com $10^{q}$ elementos é infinito, mas $10^{Q}$ é um número finito ?

Nem em :

LuizAquino escreveu:... apesar de todo número natural ter uma quantidade de casas limitada, essa quantidade pode variar ilimitadamente...

Pode ser que quem esteja "variando" seja eu (afinal estou andando em círculos), mas "limitado" que varia "ilimitadamente" é bem paradoxal, não é ?

Grandes abraços.

por **LuizAquino** » Seg Mai 23, 2011 02:07

Eu vou tentar, mais uma última vez, exemplificar que não há paradoxo.

Considere a progressão geométrica infinita cujo o primeiro termo é 1 e a razão é 10. Ou seja, temos que:
S = {1, 10, 100, 1000, 10000, ...}

Note que S tem infinitos elementos e cada um deles é um número número natural com uma quantidade finita de casas.

... apesar de todo número natural ter uma quantidade de casas limitada, essa quantidade pode variar ilimitadamente...

Pode ser que quem esteja "variando" seja eu (afinal estou andando em círculos), mas "limitado" que varia "ilimitadamente" é bem paradoxal, não é ?

Note que em S nós temos que cada termo tem uma quantidade de casas limitada, porém essa quantidade de casas varia ilimitadamente entre os termos. Ou seja, não há uma quantidade máxima de casas.

por **norberto** » Seg Mai 23, 2011 02:36

Eu também vou tentar explicar mais uma vez.

E vou logo adiantando que este foi um "ótimo" exemplo.

Considere a mesma progressão citada.

S = {1, 10, 100, 1000, 10000, ...}

A quantidade de elementos deste conjunto é justamente q, se considerarmos q uma abreviação da frase "número finito de casas"

E o "número finito de casas", por ser "finito", é finito.
Logo o número de elementos de S, por ter o mesmo valor de q, também o é.

E "número finito de casas" não é a grandeza que estaria "variando".

Mas concordo que o "número específico de casas de cada elemento", seja uma grandeza "limitada" por q e que está variando.
Mas não "ilimitadamente", pois, como disse, ela é limitada por "número finito de casas".

O fato de considerarmos que S possui "infinitos" elementos decorre especificamente que não "especificamos" que diacho de "número finito é este".

Abraços.

por **LuizAquino** » Seg Mai 23, 2011 16:24

S = {1, 10, 100, 1000, 10000, ...}

A quantidade de elementos deste conjunto é justamente q, se considerarmos q uma abreviação da frase "número finito de casas".

E o "número finito de casas", por ser "finito", é finito.
Logo o número de elementos de S, por ter o mesmo valor de q, também o é.

Você está equivocado. A progressão geométrica S = {1, 10, 100, 1000, ...} possui infinitos termos e não é pelo fato que você mencionou no final de sua mensagem!

E "número finito de casas" não é a grandeza que estaria "variando".

Mas concordo que o "número específico de casas de cada elemento", seja uma grandeza "limitada" por q e que está variando.
Mas não "ilimitadamente", pois, como disse, ela é limitada por "número finito de casas".

Não existe um número q que limite a quantidade de casas! Você precisa definitivamente entender isso! A afirmação de que cada termo dessa sequência tem um "número finito de casas", apenas significa que não há um termo com infinitas casas. Mas, essa restrição não impede que esse número de casas possa variar sem limites de termo para termo!

Note que se c_n

é a quantidade de casas do n-ésimo termo dessa sequência, então c_n = n

. Note como fica evidente que a quantidade de casas específica de cada termo é limitada, porém essa quantidade pode variar sem um limite de termo para termo. Ou seja, não existe um número q tal que c_n < q

para todo termo n. A sua interpretação de que esse número existe, mas que "(...) não 'especificamos' que diacho de 'número finito é este' (...)" está equivocada.

por **dmeneiz** » Seg Mai 23, 2011 16:58

amigo estou te entendendo. Todo número natural é finito, pelo menos eu acho.
qualquer que seja o número n existe o conjunto de 1 a n com n elementos. Como n é finito por quê é um número natural então o conjunto de 1 a n também é finito por quê tem n elementos não importando quanto vale n bastando n ser um número natural. É isso mesmo ? Só falta resolver o caso do 0 eu acho.

por **norberto** » Ter Mai 24, 2011 00:42

Oi luiz !

LuizAquino escreveu:Você está equivocado.

Talvez eu esteja, talvez você é quem esteja.

LuizAquino escreveu:A progressão geométrica S = {1, 10, 100, 1000, ...} possui infinitos termos e não é pelo fato que você mencionou no final de sua mensagem!

- Como cada elemento está justamente no "lugar" do número de casas que tem, ou seja, o elemento na posição 1 tem uma casa,
o elemento na posição 2 tem duas casa, e assim por diante ;

- Como qualquer elemento deste conjunto possui um "número finito de casas"

Por consequência, o conjunto é finito, pois o "lugar" que cada elemento ocupa, qualquer que seja esse elemento, é finito, justamente
porque "número finito casas", é finito.

LuizAquino escreveu:Não existe um número q que limite a quantidade de casas! Você precisa definitivamente entender isso!

Se q = "número finito de casas"
Então q limita a variável "número de casas".

LuizAquino escreveu:A afirmação de que cada termo dessa sequência tem um "número finito de casas", apenas significa que não há um termo com infinitas casas. Mas, essa restrição não impede que esse número de casas possa variar sem limites de termo para termo!

Me desculpe, mas acho que desta vez é você que está andando em círculos com o conceito de algo "limitado" que varia "ilimitadamente".

Ao contrário. A afirmação de que cada termo da sequência tem um "número finito de casas" significa, realmente, que não há nenhum termo com
infinitas casas. Mas a restrição continua sendo exatamente o que é. Uma restrição que impede que a variável "número de casas"
possa variar "sem limites". Note também, que isso garante que todos os naturais sejam números finitos, pois são expressos com uma
quantidade finita de casas. Retirando esta "restrição", provavelmente o que chamamos de conjunto dos números naturais seria completamente
diferente do que é.

Por exemplo, a parte decimal de um número real não possui essa restrição. O "número de casas decimais" não é limitado por restrição alguma. Este é
um valor que pode variar "ilimitadamente" justamente por isso. Se eu considerasse que ambas as grandezas podem variar "ilimitadamente", eu
chegaria a absurda conclusão de que existem tantos números naturais quantos são as frações decimais entre 0 e 1. Portanto, utilizar um
conjunto com a "restrição" de que cada elemento possua apenas "número finito de casas", "limita" o que você pode fazer com a variável "número de casas".

. Pros naturais a variável "número de casas" é limitada por "número finito de casas", logo não pode variar ilimitadamente.
. Pras frações decimais, a variável "número de casas decimais" não é limitado por "número finito de casas decimais", logo,
esta sim, pode variar ilimitadamente.

E é por isso que o conjunto dos naturais é considerado menor do que o dos reais. Pelo fato de os naturais serem todos finitos, não há nenhum
natural que enumere uma quantidade ilimitada. Não existe um natural transfinito.

Afinal, se "número de casas" fosse a mesma coisa que "número finito de casas", a palavra "finito" perderia completamente o sentido.

Abraços.

=======================================================================================================

Oi dmeneis !

Se eu entendi dirito o que você quis dizer, é mais ou menos isso.
Um outro modo de dizer isso, seria :

1. 0 é um número
2. O sucessor de um número n, é n+1

Se eu chamar de passo, cada vez que eu aplicar a regra 2, podemos dizer que eu alcanço o "1" em 1 passo, o "2" em 2 passos,
e assim por diante. O número natural n, será alcançado no passo n. Podemos mesmo dizer que passo = n
Se eu disser que todo n é um número finito, todo número n, seja ele qual for, será definido por uma "quantidade finita de passos".
O conjunto de "todos" os n, os quais são finitos, é construído executando-se um número finito de passos, o que é o mesmo
que dizer que este conjunto é finito.

Mas cuidado. Eu não estou dizendo que "acredito" que o conjunto dos números naturais é finito. Pelo contrário. Eu apenas encontrei essa
afirmação em http://naturaisetransfinitos.blogspot.com e não consegui ainda uma boa "prova" que a negue. Mas acredito que vou achar,
cedo ou tarde. Só me recuso a considerá-la falsa sem provas. Sou absolutamente contra o "é falsa porque é falsa".

Abraços

por **LuizAquino** » Ter Mai 24, 2011 02:17

norberto escreveu:Me desculpe, mas acho que desta vez é você que está andando em círculos com o conceito de algo "limitado" que varia "ilimitadamente".

Note que não há um número r que faça ser válida a desigualdade c_i - c_j < r

para todos os termos i e j distintos da sequência. Isso significa que a variação entre a quantidade de casas não é limitada. O que é limitada, sim, é a quantidade de casas que cada termo individualmente pode ter.

por **norberto** » Ter Mai 24, 2011 03:21

LuizAquino escreveu:Note que não há um número r que faça ser válida a desigualdade $c_{i} - c_{j} < r$ para todos os termos i e j distintos da sequência. Isso significa que a variação entre a quantidade de casas não é limitada. O que é limitada, sim, é a quantidade de casas que cada termo individualmente pode ter.

Não, luiz. Isso só nos remete para o que já concordamos. Que não existe um $c_{i}$ no conjunto de "número de casas" que seja o último elemento. Mas os elementos deste conjunto, não crescem "ilimitadamente". Eles crescem de acordo com a limitação de serem todos "números finitos de casas". O que não acontece com o conjunto "número de casa decimais".

Abraços.