Polígonos

por **Diana** » Seg Mai 23, 2011 22:10

Um polígono convexo A, possui 3 lados a mais que um poligono convexo B, quanto às diagonais, o polígono A possui 12 diagonais a mais que o polígono B. Determine quais são os polígonos A e B.
Resposta: heptágono e quadrilátero
Formula d=(n-3).n / 2

Eu faço e não chego a nada, o máximo que eu consegui foi que n de A é o n de B mais 4, e esta errado...

por **FilipeCaceres** » Seg Mai 23, 2011 22:27

Façamos o seguinte,
n_a

=lados de A
n_b

=lados de B

Assim temos,
n_a=n_b +3

Logo,
$(n_a-3).\frac{n_a}{2}=(n_b-3).\frac{n_b}{2}$

Substituindo o valor de n_a

$(n_b+\cancel{3}-\cancel{3}).\frac{n_b+3}{2}$

$\cancel{n_b^2}+3n_b=\cancel{n_b^2}-3n_b+24$

6n_b=24

, que corresponde ao quadrado.

n_a=n_b+3=4+3

, que corresponde ao heptágono.

Abraço.

por **Diana** » Seg Mai 23, 2011 22:45

Eu entendi, mas mais ou menos. entendi até quando você substituiu os valores, mas nao encontrei de onde saiu o 24, e por que o 2 em baixo nao ta mais la. será que teria como voce me explicar? desculpa...

por **FilipeCaceres** » Seg Mai 23, 2011 22:56

Escrevendo errado vais er difícil de entender mesmo :-D

Logo,
$(n_a-3).\frac{n_a}{2}=(n_b-3).\frac{n_b}{2}$

Substituindo o valor de n_a
$(n_b+\cancel{3}-\cancel{3}).\frac{n_b+3}{2}$

Corrigindo.
Sabemos que:
d_a=d_b+12

Assim temos,
$(n_a-3).\frac{n_a}{2}=(n_b-3).\frac{n_b}{2}+12$

Substituindo o valor de n_a

,
$(n_b+\cancel{3}-\cancel{3}).\frac{(n_b+3)}{2}=(n_b-3).\frac{n_b}{2}+12$

Multiplicando tudo por 2 e resolvendo temos
$\cancel{n_b^2}+3n_b=\cancel{n_b^2}-3n_b+24$

O resto é igual.

Abraço.

por **Diana** » Seg Mai 23, 2011 23:19

Agora sim! entendi direitinho, brigadão mesmo! abraço

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