Raízes de uma função

por **abel** » Sáb Nov 01, 2008 23:24

Oi pessoal,

eu meio que tô perturbardo com uma questão aqui...
é uma função do segundo grau f(x) = -x² + 62x - 600
só q eles pedem pra eu achar as raízes dessa função... o problema é que seu eu for perder tempo fazendo baskara com esses números enormes num vestibular por exemplo, eu tô ferrado O.o
tem um jeito de saber as raízes de uma maneira mais fácil?

por **admin** » Dom Nov 02, 2008 00:05

Olá abel, boas-vindas!

Normalmente em questões de vestibulares, mesmo com números "grandes", as contas não são tão complicadas.

Mas neste caso sim, há uma maneira mais fácil, considerando a soma e o produto das raízes.

Se a função é
f(x) = ax^2 + bx + c

E

e

são as raízes, temos que a soma é:
$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}$

Produto:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Aqui há um tópico onde comentei sobre como obter estas "fórmulas":
http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=105&t=127&p=216#p216

Ou seja, você precisa tentar descobrir as raízes sabendo a soma e o produto:

$x_1 + x_2 = \frac{-62}{-1} = 62$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-600}{-1} = 600$

Em palavras, você deve se perguntar assim: quais os dois números que somados resultam em

e multiplicados resultam em 600

?
Nem sempre é imediato inferir sobre eles, mas neste caso é simples.

Espero ter ajudado.
Bons estudos!

por **Molina** » Seg Nov 03, 2008 15:29

Neste caso soma e produto (forma repassada pelo fábio) não nos ajuda muito, já que os dois valores são alto (62 e 600). Para números menores é sempre bem eficiente este método.
Sugiro tentar resolver por Báskara mas antes multiplique toda a equação por -1 para ficar com o primeiro termo positivo.

Bom estudo! :y:

por **admin** » Seg Nov 03, 2008 16:04

Olá.
Ainda acho que ajuda, vou tentar argumentar...

Começando o teste com

e

logo se chega às raízes, considerando que a soma atual é

e precisamos diminuí-la.

Mas, outra dica para facilitar ainda mais caso não descubra é fatorar 600

:

$\begin{tabular}{r|l} 600 & 2 \\ 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \hline & 1 \cdot 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \end{tabular}$

Como o produto é $x_1 \cdot x_2 = 600$ , basta combinarmos estes fatores buscando a soma

, assim limitamos bem os números candidatos.

Até mais!

por **abel** » Seg Nov 03, 2008 19:06

Por báskara eu achei muito cansativo e que consome muito tempo.
tentei fazer pelo método do fábio... mas não tinah idéia de como achar dois números q multiplicassem e somassem valores altos desse jeito...
o fábio disse em fatorar e combinar os fatores... mas eu não entendi direito como isso funciona. =/

por **admin** » Ter Nov 04, 2008 04:31

Olá abel!

Temos que primeiro considerar o produto, com os números permitidos provenientes da fatoração.
$1\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 5 = 600$

Exemplos de combinações com os fatores:

$\underbrace{1\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 3}_{60} \cdot \underbrace{2\cdot 5}_{10} = 600$
Soma:

$\underbrace{1\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}_{24} \cdot \underbrace{5\cdot 5}_{25} = 600$
Soma:

$\underbrace{1\cdot 2\cdot 2\cdot 2}_{8} \cdot \underbrace{3 \cdot 5\cdot 5}_{75} = 600$
Soma:

$\vdots$

Podemos desconsiderar aquelas combinações de fatores cuja soma evidentemente já excede

.
Assim não demora muito para encontrarmos as raízes.

abel, comente se ficou claro...
Se não preferir assim, a opção será "Bhaskara".
Bons estudos!

por **admin** » Ter Nov 04, 2008 04:31

Olá abel!

Temos que primeiro considerar o produto, com os números permitidos provenientes da fatoração.
$1\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 5 = 600$

Exemplos de combinações com os fatores:

$\underbrace{1\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 3}_{60} \cdot \underbrace{2\cdot 5}_{10} = 600$
Soma:

$\underbrace{1\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}_{24} \cdot \underbrace{5\cdot 5}_{25} = 600$
Soma:

$\underbrace{1\cdot 2\cdot 2\cdot 2}_{8} \cdot \underbrace{3 \cdot 5\cdot 5}_{75} = 600$
Soma:

$\vdots$

Podemos desconsiderar aquelas combinações de fatores cuja soma evidentemente já excede

.
Assim não demora muito para encontrarmos as raízes.

abel, comente se ficou claro...
Se não preferir assim, a opção será "Bhaskara".
Bons estudos!

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