área do octógono

por **maria cleide** » Qui Mai 12, 2011 17:43

Seja $\sqrt{3}$ a medida do lado do ctógono regular da figura. Então, a área da região sombreada é quanto?
Sei que a área do octógono é : $2\sqrt{3}^2(\sqrt{2}+1)$ , supus que a parte sombreada é a metade da figira então é: $3(1+\sqrt{2})$ . Mas é apenas uma suposição, então como fazer?

por **MarceloFantini** » Qui Mai 12, 2011 18:31

Primeiro, tome cuidado com as suas suposições. Você não pode afirmar que a área sombreada é metade da área da figura. A figura sombreada é um retângulo, logo sua área é base vezes altura. Sabemos que a base é igual ao lado do octógono, falta encontrar a altura. Sabemos, também, que se somarmos a área sombreada com as duas áreas brancas teremos a área total. Tente trabalhar com isso. Tenha em mente que o que você precisa encontrar é a altura do retângulo sombreado.

por **maria cleide** » Qui Mai 12, 2011 22:38

Essa parte consegui entender olhando para a figura, mas como faço para achar a altura do retângulo sabendo que conto apenas com a medida da base e e que posso formar 8 triângulos isósceles partindo do centro da figura. E que o ângulo interno de cada triângulo será $45^{\circ}$ ?

por **maria cleide** » Qui Mai 12, 2011 22:42

Essa parte consegui entender olhando para a figura. Mas como posso calcular o valor da altura do retângulo (parte sombreada) sendo que só conto com o valor da base e que partindo do centro do octógono posso formar 8 triângulos isósceles com $45^{\circ}$ cada, de ângulo interno e que a base é $\sqrt{3}$

por **FilipeCaceres** » Qui Mai 12, 2011 22:51

Observe que a altura o retângulo é igual ao valor da base maior dos trapézios, desta forma basta fazer:
$A_{octo}=2.(\frac{(B+b).h}{2})+B.b$

Onde
$h=\frac{b.\sqrt{3}}{2}$
E sabendo que:
$A_{octo}=2.b^2(\sqrt{2}-1)$

Abraço.

por **maria cleide** » Sex Mai 13, 2011 22:37

Encontrei a área do octógono que é: $6(\sqrt{2}+1)$ . Mas falta encontrar a área sombreada que depende da Base maior do trapézio ou o lado do retângulo. E agora, como faço?
Abraço, Maria Cleide.

por **FilipeCaceres** » Sáb Mai 14, 2011 00:14

Como você já encontrou a área do octógono so falta calcular o valor de B, agora faça:
$A_{octo}=2.(\frac{(B+b).h}{2})+B.b$

$h=\frac{b.\sqrt{3}}{2}$

$b=\sqrt{3}$

Então temos,
$6(\sqrt{2}+1)=2.(\frac{(B+\sqrt{3}).\frac{3}{2}}{2})+B.\sqrt{3}$

Agora tente encontrar o valor de B, depois faça:

$A_{ret}=B.b$

Abraço.

por **Willian Sujuki** » Sáb Mai 14, 2011 12:18

Em figuras regulares, é sempre importante tentar inscrever a figura numa circunferencia, ja que todos os poligonos regulares sao inscritiveis.
Em segundo lugar, eh sempre bom anotar os angulos internos e externos da figura, que nesse caso valem, $135^ {\circ} e 45^ {\circ}$ , respectivamente.

Bom, dessa forma, temos que os angulos da base menor dos trapezios, que sao isósceles, medem $135^ {\circ}$ e portanto, os angulos da base maior dos trapezios medem $45^ {\circ}$ , ja que devem ser suplementares.
Se traçarmos novas perpendiculares ao retangulo sombreado, formando outro retangulo congruente, dividiremos os trapezios em um retangulo central e dois triangulos congruentes. Esses dois triangulos congruentes formados no trapezio, sao isósceles, de angulos iguais a 45, 45 e 90. Assim, por sen e/ou cos $45^ {\circ}$ - hipotenusa eh o proprio lado do octógono- , temos que o triangulo tem lados iguais a $(\sqrt{6})$ /2 , $(\sqrt{6})$ /2 e a $(\sqrt{3})$ , este ultimo sendo o proprio lado do octogono.
Ja o retangulo tem um lado medindo $(\sqrt{6})$ /2 e o outro medindo $(\sqrt{3})$ , paralelo ao proprio lado do octogono.

Dai, com as medidas, fica facil achar qualquer area da figura.
Pelas minhas contas, deu $(\sqrt{2})$ + 1.

Espero ter ajudado, é que sou novo aqui, esse é meu primeiro post, entao estou meio confuso quanto ao uso do latex e tal. Pode ter ficado confusa a resolução, mas a parte mais importante eh determinar os angulos do octogono REGULAR. Essa palavra eh muito importante, nao despreze-a! Qualquer duvida sobre a resoluçao, tamo ae.Abraços.

por **maria cleide** » Sex Mai 20, 2011 12:08

Eu fiz: $\sqrt{3}\cdot\dfrac{3}{2}+2[\dfrac{(B+\sqrt{3})}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}]=6(\sqrt{2}+1)$ e encontrei $B=4(\sqrt{2}+1)-2\sqrt{3}$ . Multiplicando isso bela base menor ja que a altura do retângulo é essa obti: $4\sqrt{3}(\sqrt{2}+1)-6$ . Que não é o resultado. Eu não fiz certo? Posso ter errado nas contas?

por **maria cleide** » Dom Mai 22, 2011 20:34

Tem alguma conclusão?

por **maria cleide** » Dom Jun 12, 2011 21:24

Eu Consegui:

Por pitágoras fiz:
$(\sqrt{3}^2)=x^2+x^2$
$x=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

Área do retângulo é : $b\cdot {h}$
A= $\sqrt{3}(2 \sqrt{\dfrac{3}{2}}+ \sqrt{3})$
$2\sqrt{3}\cdot\sqrt{\dfrac{3}{2}}+3$
$\dfrac{6}{\sqrt{2}}+3$
Racionalizando $\dfrac{6}{\sqrt{2}}$ obtemos $3\sqrt{2}$
Portanto $3\sqrt{2}+3$
$=3(\sqrt{2}+1)$
Está certo agora?

por **claudinho** » Ter Jun 14, 2011 03:55

bem
ta corretissimo,, testei aqui e bateu o resultado

A grande dica mesmo, era encontrar este angulo de 45°
(tanto internamente, do jeito q o wiliam frisou,
ou externamnete, imaginando um quadrado cinscunscrevendo o octógono)

Oq vc fez por pitagoras, eu tentei por seno
$\\sen \theta = \frac{cat. o}{hip} \Leftrightarrow sen45^0 = \frac{x}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac {x}{\sqrt{3}} \\\\ 2x=\sqrt{2}\sqrt{3} \\\\ x= \frac{\sqrt{6}}{2}$

E a continuação fica mais facil:
$\\A_{ret} = b.h\\\\ A_{ret} = \sqrt{3}. (2\frac{\sqrt{6}}{2} + \sqrt{3})\\\\\\ A_{ret} = (\cancel2\frac{\sqrt{6}\sqrt{3}}{\cancel2} + \sqrt{3}\sqrt{3}) \\\\\\ A_{ret} = \sqrt{18} + 3 \\\\\\ A_{ret} = 3\sqrt{2} + 3$

Abraço a todos

por **claudinho** » Ter Jun 14, 2011 03:56

bem
ta corretissimo,, testei aqui e bateu o resultado

A grande dica mesmo, era encontrar este angulo de 45°
(tanto internamente, do jeito q o wiliam frisou,
ou externamnete, imaginando um quadrado cinscunscrevendo o octógono)

Oq vc fez por pitagoras, eu tentei por seno
$\\sen \theta = \frac{cat. o}{hip} \Leftrightarrow sen45^0 = \frac{x}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac {x}{\sqrt{3}} \\\\ 2x=\sqrt{2}\sqrt{3} \\\\ x= \frac{\sqrt{6}}{2}$

E a continuação fica mais facil:
$\\A_{ret} = b.h\\\\ A_{ret} = \sqrt{3}. (2\frac{\sqrt{6}}{2} + \sqrt{3})\\\\\\ A_{ret} = (\cancel2\frac{\sqrt{6}\sqrt{3}}{\cancel2} + \sqrt{3}\sqrt{3}) \\\\\\ A_{ret} = \sqrt{18} + 3 \\\\\\ A_{ret} = 3\sqrt{2} + 3$

Abraço a todos

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