Estudo do sinal

por **victorleme** » Dom Mai 08, 2011 16:33

1)Se k é um número real maior que zero, então : $\frac{1}{\sqrt[2]{k^2+1}-k}$
Alternativas:
A)Diminui quando k aumenta
B) é menor que 0
C) está entre 0 e k
D) Está entre k e 2k
E) é maior que 2k

Alguma luz?

por **Molina** » Dom Mai 08, 2011 17:08

Boa tarde, Victor.

Perceba que $\sqrt{k^2 + 1}$ é quase igual a k, porém é maior (por um pequeno valor). Porém, quando k aumenta, o valor do denominador (parte inferior da fração) diminui. Exemplo:

$k=2 \Rightarrow \sqrt{4+1}-2= 0,2360...$

$k=10 \Rightarrow \sqrt{100+1}-10= 0,0498...$

Ou seja, a expressão completa aumenta quando k aumenta. (alternativa A está descartada).

O denominador da fração é sempre um valor positivo pelo critério imposto no enunciado, logo a expressão total será sempre positiva. (alternativa B está descartada).

Para verificar as alternativas [u]C[/u], D e E podemos pegar um k particular e ver o que vamos obter como resposta:

$k=10 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{100+1}-10}= 20,0498...$

Concluimos que a alternativa E está correta.

:y:

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