por jamiel » Qui Abr 28, 2011 13:11
Esboce o gráfico das funções dando o domínio e a imagem de cada uma delas.
a) | x + 2 | = 0
x + 2 = 0
x = -2
Eu teria um gráfico com y=2 e x=-2. Espelhando a parte da função quando negativa, -x -2 .... -x = 2 ... x = -2. Com isso, uma reta de y=2 até x=-2 e x=-2 até -2?x .... Um "V", melhor dizendo. Minha dúvida é seguinte, neste gráfico o x=-2 é o valor do meio, que divide o, onde as duas retas partem, mas em direções opostas. O domínio seria "D=R" e a imagem seria "Im=R+". No meu entender, eu teria um limíte, que seria entre x=-4 e 0, estaria certo ou neste gráfico eu poderia trabalhar com qualquer valor na reta x não e positivo?
b) |x² + 2x - 3|
Se alguém puder comentar algo sobre essa do segundo grau, agradeço também. Como seria comportamento dessa parábola com valores atribuídos a "x"?
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por carlosalesouza » Seg Mai 02, 2011 00:09
a)
Na verdade, observemos o seguinte, sendo uma função modular,

, então, podemos representá-la da seguinte forma:

A sua demonstração y=2 até x=-2, na verdade, originaria uma reta constante, paralela ao eixo x...
Assim, o ponto de encontro das duas retas será (-2,0)
f(-1) = |-1+2|=1
f(-2) = |-2+2|=0
f(-3) = |-3+2|=|-1|=1
Ok?
b)
Primeiro, vamos fatorar:

, logo:

Portanto:

Aqui já encontramos as raízes:

e

O gráfico terá o formato de um W e seus dois limites inferiores tocarão o eixo x, com y=0, nos pontos x=-3 e x=1
Entre esses valores de x, o gráfico será uma parábola e depois fora desse intervalo, duas retas simétricas.
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por jamiel » Seg Mai 02, 2011 02:33
Obrigado!
Me custa assimilar esse assunto, um pouco.
f(-1) = |-1+2|=1
f(-2) = |-2+2|=0
f(-3) = |-3+2|=|-1|=1
Digamos q eu coloque f(1), f(2) e f(3). Isso estaria correto? Minha dúvida, basicamente, é essa. Eu posso trabalhar com qualquer valor de x
Por exemplo:
|x + 2| = 1
x = 1 -2
x = -1
e
-|x + 2| = 1
-x -2 = 1
-x = 1 +2
-x = 3
x = -3
Para o valor de y=1, por exemplo, eu tenho valores simétricos. Neste caso, (-3;1) e (-1;1). O valor "-2" estaria entre -3 e -1. Com isso, esses dois últimos estariam equidistantes, correto?
Obrigado mais uma vez!
É, justamente, essa simetria q a função modular busca?
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por carlosalesouza » Seg Mai 02, 2011 21:32
Rs... é mais ou menos por aí...
A questão da função modular é que ela não aceita valores negativos na imagem, mas o domínio aceita qualquer valor. Assim, podemos escrever a função de formas diferentes para ilustrá-la melhor.
O comportamento dela vai depender de seu grau. Como podemos ver pelos exemplos utilizados, a função modular de 1º grau apresenta gráfico em V, a de 2º forma um W, a de 3º (essa não temos aqui) formará duas curvas que partem do ponto y=0, mas que não apresentam qualquer simetria, ou seja, a função modular não é necessariamente simétrica. Sua característica principal é que o ponto (ou pontos) y=0 divide a função em segmentos, que podem ser definidos por funções condicionais.
Explicando melhor, se f(x) < 0 para um x qualquer, então |f(x)| = - f(x)
Foi falha minha, mas o gráfico da segunda função fica assim:

Traduzindo,

para todo x menor que -3 ou x maior que 1 (pois esses valores de x retornam y positivo) e

para todo x de -3 a 1 (pois esses valores de x retornam y negativo, sendo necessário inverter o sinal da função)...
Obviamente, existem funções que não apresentam imagem negativa... nestes casos, o módulo dessas funções não fará a mínima diferença... rs
Então, resumidamente, para traçar o gráfico de uma função modular, precisamos encontrar o domínio e a imagem da função contida dentro do módulo e verificar qual intervalo de D-->Im onde y>=0 e inverter o sinal da função para valores de x fora desse intervalo, traçamos e combinamos os gráfifcos das duas funções para encontrar o gráfico da função modular.
Espero ter ajudado... se surgiu mais alguma dúvida, pode perguntar, que estamos aqui pra isso... rs
Um abraço
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por jamiel » Ter Mai 03, 2011 00:28
Bacana sua explicação. Obrigado, mesmo.
Agora, outro ponto interessante é o valor q desloca o gráfico, por exemplo: |x + ''x| -5 = f(x).
Vlw mesmo ...
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por jamiel » Qua Mai 04, 2011 02:29
Essa foi esquentar meu crânio!
|x-3| + 4x = 7
De início, se o 4x fosse apenas 4, deslocaria o gráfico do modulo. Porém, 4x é uma reta em diagonal passando por zero. Logo, o deslocamento estaria entre 4 e 7. Confesso q não consegui compreender.
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por LuizAquino » Qua Mai 04, 2011 11:04
Eu recomendo que você assista as vídeo-aulas do canal do Nerckie no YouTube. Procure pela vídeo-aula "Matemática - Aula 26 - Função Modular". Elas estão divididas em 5 partes. O endereço do canal é:
http://www.youtube.com/nerckie
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por jamiel » Qua Mai 04, 2011 12:01
Vlw Luiz!
Eu assisto, sempre q posso, as video-aulas dele. Confesso q falta assistir os outros vídeos de função modular, assisti os dois primeiros, eu acho.
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por carlosalesouza » Qua Mai 04, 2011 15:26
Pois é... o módulo só vai afetar o que está dentro do módulo, pois se f(x)<0, então |f(x)|=-f(x)
Nesse caso, f(x) = |x-3|+4x = 7 fica:

Observe que 5(3)-10 = 5 e 3(3)-4 = 5.
Logo, o ponto de partida das duas retas será (3,5)
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por jamiel » Qua Mai 04, 2011 16:17
Ok, eu fiz dessa maneira, mas o gráfico quando eu coloquei no programa "Wolfram(esse programa é muito difícil, nem sei por onde começar! rssr)" e no Winplot ficou um gráfico meio esquisito!
Mas vlw pela dica, de qualquer forma!
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por jamiel » Qua Mai 04, 2011 16:25
Ah, outra, o conjunto Verdade é x={4/3}!
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por carlosalesouza » Qua Mai 04, 2011 21:04
Pra criar gráficos, eu recomendo o graphmatica... é simples e fácil de entender... tem uma barra de endereço, onde voce digita a equação de forma linear, tipo y=|x+3|+4x-7
E ele vai traçar o gráfico pra voce... rs
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por LuizAquino » Qua Mai 04, 2011 21:25
Um ótimo programa para traçar gráficos, realizar construções geométricas e muito mais é o GeoGebra. O página oficial do programa é:
http://www.geogebra.orgEm meu canal no YouTube há um curso ensinando a usar esse programa. O endereço é:
http://www.youtube.com/LCMAquino
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por jamiel » Qua Mai 04, 2011 21:50
Obrigado mais uma vez. Eu fiz o gráfico em dois programas diferentes, mais, usei a barra de navegação da Wolfram online q mostra até equação balanceada de química rsrsr
O problema é q não estou entendo o gráfico. As retas de |x-3| formam um V, ok, mas com toda a equação resolvida, a reta do lado direito, após o 3, continua no mesmo sentido, a do lado direito parece descer um pouco(inclina mais ainda para a esquerda) e a origem do gráfico(o V q se encontra em x=3) sobe 14 unidades em y. Muito louca essa equação! rsrsr
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por jamiel » Qui Mai 05, 2011 02:23
Essa equação tá me dando trabalho!
Respirando fundo! Deixa ver se eu entendi:
|x-3|+4x=7
Primeiro caso:
|x-3|?0
x - 3 + 4x = 7
5x -10, se |x-3|?0
segundo caso:
|x-3|<0
-x + 3 + 4x = 7
3x -4, se |x-3|<0
Até aí, tudo bem!
5x -10, se |x-3|?0 e 3x -4, se |x-3|<0
*Digamos q eu plote as duas retas dessas duas equações -->
5x - 10 e 3x - 4
*Posso ousar----- 5x-10=3x-4 --> 2x = 6 --> x = 3. Em um dado momento elas passam pelo ponto x=3
5•3 -10 = 5 e 3•3 -4 = 5, ambas tem y=5 em comum.
*Com todo esse arranjo, igualando todos os valores iniciais numa só situação(lado da equação), o 7, o 4x e |x-3|, restam os pontos comuns. Se há algum, é claro!
*Com toda essa mistura de valores o x fica responsável pelo deslocamento do |x-3|. Logo, 5•3 -10 = 5 e 3•3 -4 = 5, o modulo começa no x=3 na altura y=5.
*Voltando com as restrições anteriormente determinadas, subentende-se que 5x - 10 só é verdadeiro do ponto x=3 em diante e 3x -4 até x<3.
*Finalizando:
É como se criasse um novo "modulo", um reta final "espelho", como? Unindo a parte verdadeira da reta 5x-10 e 3x-4, ficando assim, uma reta "torta". E o contrário também, se invertermos as restrições a reta espelho final é a mesma, porém, contrária.
Eu acho q consegui entender, com muito sacrifício, mas obtive isso. Brigadão pelos toques Aquino. Baixei o programa q vc me recomendou e irei usá-lo amanhã mesmo. Ah, e ver seus vídeos no youtube.
Atualmente, estou no primeiro em Lic. Química e iniciarei a escola técnica IFPE(antigo CEFET-PE) no curso de Mecânica no segundo semestre. Sinto um grande entusiasmo pela matemática, de uns tempos para cá, cogitando a possibilidade, mais à frente, de cursar engenharia. Qualquer conselho seria bem-vindo acerca "engenharia", sei, por alto, q é muito puxado esse curso!
vlw ....
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por carlosalesouza » Qui Mai 05, 2011 08:44
Ahghahaha... calma... calma... rs
Como eu disse antes, a gente não precisa se preocupar com a simetria ou o formato da função modular em V.
A propriedade relevante, aqui, da função modular, é que ela divide a função em duas funções, de acordo com o valor de x.
Assim, quando traçamos as funções condicionais no plano cartesiano, devemos lembrar que se u(x) para x>=a e v(x) para x < a, então devemos traçar a função u(x) somente do ponto (a,y(a)) para a direita e a função v(x) para os valores de x à esquerda do ponto x=a.
Esta função realmente resultará em duas retas concorrentes com inclinação bem próxima, tendo como vértice o ponto (3,5)...
Mais uma vez, não esquenta a cabeça com o gráfico da função modular... hehehehe
Pra tirar a prova, você pode tanto pedir para o programa de sua preferência (e o geogebra é realmente imbatível, em todos os aspectos) traças as duas funções resultantes da função modular e analisar a área de interesse de cada uma delas ou escrever a função do jeito que voce tem ali:
y=|x-3|+4x-7
Que ele vai traçar já a função modular bonitinha... heheheheh
Um abraço...
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por LuizAquino » Qui Mai 05, 2011 09:04
Vamos deixar algo bem claro: o texto "|x - 3| + 4x = 7" representa uma
equação e não uma função.
Se tivéssemos duas variáveis nessa equação, aí sim poderíamos enxergá-la como uma função. Por exemplo, se tivéssemos: |x - 3| + 4x = 7 + 2y. Nesse caso, poderíamos dizer que temos:

Enxergando y como uma função de x, ou seja, y = f(x), aí poderíamos traçar o gráfico dessa função.
Por outro lado, o que temos originalmente é uma
equação com apenas uma incógnita. Isso significa que você deve encontrar os valores da incógnita x que tornam a equação |x - 3| + 4x = 7 verdadeira.
Nesse caso, temos que:
|x - 3| + 4x = 7
|x - 3| = 7 - 4x
Usando a definição de módulo, isso gera duas equações:
(a) x - 3 = 7 - 4x, se x >= 3.
(b) -(x - 3) = 7 - 4x, se x < 3.
A equação (a) tem solução x = 2. Mas, como devemos ter x >= 3, essa solução não é válida.
Já a equação (b) tem solução x=4/3. Note que esse valor de x é tal que x < 3.
Portanto, a solução da equação original é S = {4/3}. Para testar a solução, substitua x por esse valor na equação original e você verá que a equação fica verdadeira.
Podemos ainda ter mais outra interpretação. Dada a equação |x - 3| + 4x = 7, podemos escrever |x - 3| + 4x - 7 = 0. Se forçarmos um pouco a barra e enxergarmos o primeiro membro dessa equação como se fosse uma função de x, então temos a equação f(x)=0. Desse modo, geometricamente falando, para resolver a equação original temos que determinar a interseção do gráfico de f(x) com o eixo x.
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por carlosalesouza » Qui Mai 05, 2011 09:35
Eu acho que é assunto encerrado então... heheheheh
Um abraço
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por jamiel » Qui Mai 05, 2011 14:08
Aquino, eu acho q entendi melhor agora. Isso não é uma função modular, mas uma equação modular, tanto é q o conjunto verdade é v={4/3}. Eu acho q me equivoquei, mais, me compliquei tanto. Obrigado a todos mais uma vez.
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Qua Mar 23, 2011 17:36
Álgebra Elementar
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Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46
Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25
POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?
P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50
P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25
P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833
4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3
SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37
utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24
Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.
Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45
Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23
Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18
Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40
Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias
44242:7 = 6320 + resto 2
è assim, nâo sei mais sair disso.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24
que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43
Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:
De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.
De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.
De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.
Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.
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