Função Modular - dúvida

por **jamiel** » Qui Abr 28, 2011 13:11

Esboce o gráfico das funções dando o domínio e a imagem de cada uma delas.

a) | x + 2 | = 0

x + 2 = 0
x = -2

Eu teria um gráfico com y=2 e x=-2. Espelhando a parte da função quando negativa, -x -2 .... -x = 2 ... x = -2. Com isso, uma reta de y=2 até x=-2 e x=-2 até -2?x .... Um "V", melhor dizendo. Minha dúvida é seguinte, neste gráfico o x=-2 é o valor do meio, que divide o, onde as duas retas partem, mas em direções opostas. O domínio seria "D=R" e a imagem seria "Im=R+". No meu entender, eu teria um limíte, que seria entre x=-4 e 0, estaria certo ou neste gráfico eu poderia trabalhar com qualquer valor na reta x não e positivo?

b) |x² + 2x - 3|
Se alguém puder comentar algo sobre essa do segundo grau, agradeço também. Como seria comportamento dessa parábola com valores atribuídos a "x"?

por **carlosalesouza** » Seg Mai 02, 2011 00:09

a)
Na verdade, observemos o seguinte, sendo uma função modular, $f(x)\geq 0$ , então, podemos representá-la da seguinte forma:

$\left\{\begin{matrix} f(x)=x+2\ se\ x\geq -2 & \\ f(x)=-x-2\ se\ x<-2 & \end{matrix}\right.$

A sua demonstração y=2 até x=-2, na verdade, originaria uma reta constante, paralela ao eixo x...

Assim, o ponto de encontro das duas retas será (-2,0)

f(-1) = |-1+2|=1
f(-2) = |-2+2|=0
f(-3) = |-3+2|=|-1|=1

Ok?

b)
Primeiro, vamos fatorar:
$\fraq{x^2+2x-3}{x-1}=x+3$ , logo: x^2+2x-3=(x-1)(x+3)

Portanto:
$\\ |x^2+2x-3|=0 \\ |(x-1)(x+3)|=0 \\ |x-1||x+3|=0$
Aqui já encontramos as raízes:

$x-1=0 \rightarrow x=1$ e $x+3=0 \rightarrow x=-3$

O gráfico terá o formato de um W e seus dois limites inferiores tocarão o eixo x, com y=0, nos pontos x=-3 e x=1
Entre esses valores de x, o gráfico será uma parábola e depois fora desse intervalo, duas retas simétricas.

por **jamiel** » Seg Mai 02, 2011 02:33

Obrigado!

Me custa assimilar esse assunto, um pouco.

f(-1) = |-1+2|=1
f(-2) = |-2+2|=0
f(-3) = |-3+2|=|-1|=1

Digamos q eu coloque f(1), f(2) e f(3). Isso estaria correto? Minha dúvida, basicamente, é essa. Eu posso trabalhar com qualquer valor de x

Por exemplo:
|x + 2| = 1
x = 1 -2
x = -1
e
-|x + 2| = 1
-x -2 = 1
-x = 1 +2
-x = 3
x = -3

Para o valor de y=1, por exemplo, eu tenho valores simétricos. Neste caso, (-3;1) e (-1;1). O valor "-2" estaria entre -3 e -1. Com isso, esses dois últimos estariam equidistantes, correto?
Obrigado mais uma vez!
É, justamente, essa simetria q a função modular busca?

por **carlosalesouza** » Seg Mai 02, 2011 21:32

Rs... é mais ou menos por aí...

A questão da função modular é que ela não aceita valores negativos na imagem, mas o domínio aceita qualquer valor. Assim, podemos escrever a função de formas diferentes para ilustrá-la melhor.

O comportamento dela vai depender de seu grau. Como podemos ver pelos exemplos utilizados, a função modular de 1º grau apresenta gráfico em V, a de 2º forma um W, a de 3º (essa não temos aqui) formará duas curvas que partem do ponto y=0, mas que não apresentam qualquer simetria, ou seja, a função modular não é necessariamente simétrica. Sua característica principal é que o ponto (ou pontos) y=0 divide a função em segmentos, que podem ser definidos por funções condicionais.

Explicando melhor, se f(x) < 0 para um x qualquer, então |f(x)| = - f(x)

Foi falha minha, mas o gráfico da segunda função fica assim:

$\\ \left\{\begin{matrix} f(x)=x^2+2x-3\ \forall\ x<-3\ \vee\ x>1 \\ f(x)=-x^2-2x+3\ \forall\ -3\leq x\leq 1 \end{matrix}\right$

Traduzindo, f(x) = x^2+2x-3

para todo x menor que -3 ou x maior que 1 (pois esses valores de x retornam y positivo) e f(x)=-x^2-2x+3

para todo x de -3 a 1 (pois esses valores de x retornam y negativo, sendo necessário inverter o sinal da função)...

Obviamente, existem funções que não apresentam imagem negativa... nestes casos, o módulo dessas funções não fará a mínima diferença... rs

Então, resumidamente, para traçar o gráfico de uma função modular, precisamos encontrar o domínio e a imagem da função contida dentro do módulo e verificar qual intervalo de D-->Im onde y>=0 e inverter o sinal da função para valores de x fora desse intervalo, traçamos e combinamos os gráfifcos das duas funções para encontrar o gráfico da função modular.

Espero ter ajudado... se surgiu mais alguma dúvida, pode perguntar, que estamos aqui pra isso... rs

Um abraço

por **jamiel** » Ter Mai 03, 2011 00:28

Bacana sua explicação. Obrigado, mesmo.
Agora, outro ponto interessante é o valor q desloca o gráfico, por exemplo: |x + ''x| -5 = f(x).
Vlw mesmo ...

por **jamiel** » Qua Mai 04, 2011 02:29

Essa foi esquentar meu crânio!

|x-3| + 4x = 7

De início, se o 4x fosse apenas 4, deslocaria o gráfico do modulo. Porém, 4x é uma reta em diagonal passando por zero. Logo, o deslocamento estaria entre 4 e 7. Confesso q não consegui compreender.

por **LuizAquino** » Qua Mai 04, 2011 11:04

Eu recomendo que você assista as vídeo-aulas do canal do Nerckie no YouTube. Procure pela vídeo-aula "Matemática - Aula 26 - Função Modular". Elas estão divididas em 5 partes. O endereço do canal é:
http://www.youtube.com/nerckie

por **jamiel** » Qua Mai 04, 2011 12:01

Vlw Luiz!
Eu assisto, sempre q posso, as video-aulas dele. Confesso q falta assistir os outros vídeos de função modular, assisti os dois primeiros, eu acho.

por **carlosalesouza** » Qua Mai 04, 2011 15:26

Pois é... o módulo só vai afetar o que está dentro do módulo, pois se f(x)<0, então |f(x)|=-f(x)

Nesse caso, f(x) = |x-3|+4x = 7 fica:

$\\ \left\{\begin{matrix} f(x)=5x-10\ se\ x\geq 3\\ f(x)=3x-4\ se x<3 \end{matrix}\right$

Observe que 5(3)-10 = 5 e 3(3)-4 = 5.
Logo, o ponto de partida das duas retas será (3,5)

por **jamiel** » Qua Mai 04, 2011 16:17

Ok, eu fiz dessa maneira, mas o gráfico quando eu coloquei no programa "Wolfram(esse programa é muito difícil, nem sei por onde começar! rssr)" e no Winplot ficou um gráfico meio esquisito!
Mas vlw pela dica, de qualquer forma!

por **jamiel** » Qua Mai 04, 2011 16:25

Ah, outra, o conjunto Verdade é x={4/3}!

por **carlosalesouza** » Qua Mai 04, 2011 21:04

Pra criar gráficos, eu recomendo o graphmatica... é simples e fácil de entender... tem uma barra de endereço, onde voce digita a equação de forma linear, tipo y=|x+3|+4x-7

E ele vai traçar o gráfico pra voce... rs

por **LuizAquino** » Qua Mai 04, 2011 21:25

Um ótimo programa para traçar gráficos, realizar construções geométricas e muito mais é o GeoGebra. O página oficial do programa é:
http://www.geogebra.org

Em meu canal no YouTube há um curso ensinando a usar esse programa. O endereço é:
http://www.youtube.com/LCMAquino

por **jamiel** » Qua Mai 04, 2011 21:50

Obrigado mais uma vez. Eu fiz o gráfico em dois programas diferentes, mais, usei a barra de navegação da Wolfram online q mostra até equação balanceada de química rsrsr

O problema é q não estou entendo o gráfico. As retas de |x-3| formam um V, ok, mas com toda a equação resolvida, a reta do lado direito, após o 3, continua no mesmo sentido, a do lado direito parece descer um pouco(inclina mais ainda para a esquerda) e a origem do gráfico(o V q se encontra em x=3) sobe 14 unidades em y. Muito louca essa equação! rsrsr

por **jamiel** » Qui Mai 05, 2011 02:23

Essa equação tá me dando trabalho!

Respirando fundo! Deixa ver se eu entendi:

|x-3|+4x=7

Primeiro caso:
|x-3|?0
x - 3 + 4x = 7
5x -10, se |x-3|?0

segundo caso:
|x-3|<0
-x + 3 + 4x = 7
3x -4, se |x-3|<0

Até aí, tudo bem!

5x -10, se |x-3|?0 e 3x -4, se |x-3|<0

*Digamos q eu plote as duas retas dessas duas equações -->
5x - 10 e 3x - 4
*Posso ousar----- 5x-10=3x-4 --> 2x = 6 --> x = 3. Em um dado momento elas passam pelo ponto x=3
5•3 -10 = 5 e 3•3 -4 = 5, ambas tem y=5 em comum.
*Com todo esse arranjo, igualando todos os valores iniciais numa só situação(lado da equação), o 7, o 4x e |x-3|, restam os pontos comuns. Se há algum, é claro!
*Com toda essa mistura de valores o x fica responsável pelo deslocamento do |x-3|. Logo, 5•3 -10 = 5 e 3•3 -4 = 5, o modulo começa no x=3 na altura y=5.
*Voltando com as restrições anteriormente determinadas, subentende-se que 5x - 10 só é verdadeiro do ponto x=3 em diante e 3x -4 até x<3.

*Finalizando:
É como se criasse um novo "modulo", um reta final "espelho", como? Unindo a parte verdadeira da reta 5x-10 e 3x-4, ficando assim, uma reta "torta". E o contrário também, se invertermos as restrições a reta espelho final é a mesma, porém, contrária.

Eu acho q consegui entender, com muito sacrifício, mas obtive isso. Brigadão pelos toques Aquino. Baixei o programa q vc me recomendou e irei usá-lo amanhã mesmo. Ah, e ver seus vídeos no youtube.

Atualmente, estou no primeiro em Lic. Química e iniciarei a escola técnica IFPE(antigo CEFET-PE) no curso de Mecânica no segundo semestre. Sinto um grande entusiasmo pela matemática, de uns tempos para cá, cogitando a possibilidade, mais à frente, de cursar engenharia. Qualquer conselho seria bem-vindo acerca "engenharia", sei, por alto, q é muito puxado esse curso!
vlw ....

por **carlosalesouza** » Qui Mai 05, 2011 08:44

Ahghahaha... calma... calma... rs

Como eu disse antes, a gente não precisa se preocupar com a simetria ou o formato da função modular em V.

A propriedade relevante, aqui, da função modular, é que ela divide a função em duas funções, de acordo com o valor de x.

Assim, quando traçamos as funções condicionais no plano cartesiano, devemos lembrar que se u(x) para x>=a e v(x) para x < a, então devemos traçar a função u(x) somente do ponto (a,y(a)) para a direita e a função v(x) para os valores de x à esquerda do ponto x=a.

Esta função realmente resultará em duas retas concorrentes com inclinação bem próxima, tendo como vértice o ponto (3,5)...

Mais uma vez, não esquenta a cabeça com o gráfico da função modular... hehehehe

Pra tirar a prova, você pode tanto pedir para o programa de sua preferência (e o geogebra é realmente imbatível, em todos os aspectos) traças as duas funções resultantes da função modular e analisar a área de interesse de cada uma delas ou escrever a função do jeito que voce tem ali:
y=|x-3|+4x-7

Que ele vai traçar já a função modular bonitinha... heheheheh

Um abraço...

por **LuizAquino** » Qui Mai 05, 2011 09:04

Vamos deixar algo bem claro: o texto "|x - 3| + 4x = 7" representa uma equação e não uma função.

Se tivéssemos duas variáveis nessa equação, aí sim poderíamos enxergá-la como uma função. Por exemplo, se tivéssemos: |x - 3| + 4x = 7 + 2y. Nesse caso, poderíamos dizer que temos:
$y = \begin{cases} \frac{5}{2}x-5\textrm{, se } x \geq 3 \\ \frac{3}{2}x-2 \textrm{, se } x < 3 \end{cases}$

Enxergando y como uma função de x, ou seja, y = f(x), aí poderíamos traçar o gráfico dessa função.

Por outro lado, o que temos originalmente é uma equação com apenas uma incógnita. Isso significa que você deve encontrar os valores da incógnita x que tornam a equação |x - 3| + 4x = 7 verdadeira.

Nesse caso, temos que:
|x - 3| + 4x = 7
|x - 3| = 7 - 4x

Usando a definição de módulo, isso gera duas equações:
(a) x - 3 = 7 - 4x, se x >= 3.
(b) -(x - 3) = 7 - 4x, se x < 3.

A equação (a) tem solução x = 2. Mas, como devemos ter x >= 3, essa solução não é válida.

Já a equação (b) tem solução x=4/3. Note que esse valor de x é tal que x < 3.

Portanto, a solução da equação original é S = {4/3}. Para testar a solução, substitua x por esse valor na equação original e você verá que a equação fica verdadeira.

Podemos ainda ter mais outra interpretação. Dada a equação |x - 3| + 4x = 7, podemos escrever |x - 3| + 4x - 7 = 0. Se forçarmos um pouco a barra e enxergarmos o primeiro membro dessa equação como se fosse uma função de x, então temos a equação f(x)=0. Desse modo, geometricamente falando, para resolver a equação original temos que determinar a interseção do gráfico de f(x) com o eixo x.

por **carlosalesouza** » Qui Mai 05, 2011 09:35

Eu acho que é assunto encerrado então... heheheheh

Um abraço

por **jamiel** » Qui Mai 05, 2011 14:08

Aquino, eu acho q entendi melhor agora. Isso não é uma função modular, mas uma equação modular, tanto é q o conjunto verdade é v={4/3}. Eu acho q me equivoquei, mais, me compliquei tanto. Obrigado a todos mais uma vez.