Números primos e outras travas

por **victorleme** » Ter Mai 03, 2011 11:20

1- p e q são números inteiros,positivos e relativamente primos, $\frac{p}{q}\equi=\frac{1}{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}}$ , qual é o valor de p+q?

Minha primeira dúvida, o que ele quer dizer com números "relativamente primos", números próximos?
No gabarito ele fala que a resposta de p+q é igual a 19, mas se substituirmos não chegamos a esse valor.

2-) X= $\sqrt[2]{6+\sqrt[2]{6+\sqrt[2]{6+\sqrt[2]{6+....}}}}$ , prove que x é um número real.

Esse realmente não sei por onde começar.

por **Abelardo** » Ter Mai 03, 2011 13:06

1) ''Relativamente primos'' quer dizer que são primos entre si, o único número inteiro e positivo que divide p e q é 1.

O gabarito está correto, veja --> $\frac{p}{q}\equi=\frac{1}{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}}$ $\to$ $\frac{p}{q}\equi=\frac{1}{\frac{3 + 4}{12}}$ $\to$ $\frac{p}{q}\equi=\frac{1}{\frac{7}{12}}$ $\to$ $\frac{p}{q}\equi=\frac{1}{1} \cdot \frac{12}{7}$ $\to$ $\frac{p}{q}\equi=\frac{12}{7}$ logo 12 + 7 = 19.

2) Temos a seguinte equação $X=\sqrt[2]{6+\sqrt[2]{6+\sqrt[2]{6+\sqrt[2]{6+....}}}}$ . Podemos elevar ambos os lado ao quadrado. $X^2=\left(\sqrt[2]{6+\sqrt[2]{6+\sqrt[2]{6+\sqrt[2]{6+....}}}} \right)^2$ --->

$X^2= 6 + \sqrt[2]{6+\sqrt[2]{6+\sqrt[2]{6+\sqrt[2]{6+....}}}}$ , agora perceba que no segundo membro da equação temos seis somado a '' X ''. Ficamos com x^2= 6 + x

, ai é só passar o seis e o x para o primero membro e resolver a equação do segundo grau. Você encontrará duas raízes reais, uma negativa e outra positiva, mas lembrando que $\sqrt[2]{x^2}= \left|x \right|$ ... logo só sobrará a raiz positiva que é 3; provando assim que x é número real.

por **Abelardo** » Ter Mai 03, 2011 15:56

No final eu disse ''provando'', é melhor entender que ''encontramos'' um valor real para x.

por **victorleme** » Ter Mai 03, 2011 19:06

Abelardo escreveu:1) ''Relativamente primos'' quer dizer que são primos entre si, o único número inteiro e positivo que divide p e q é 1.

Não compreendi, quer dizer que o MDC deles seria 1?
O valor de p e q seria 12 e 7 respectivamente? Mas não seria somente o 7 primo?

Aqui, por que você multiplicou por 1?
$\frac{p}{q}\equi=\frac{1}{1} \cdot \frac{12}{7}$

por **Abelardo** » Ter Mai 03, 2011 20:05

Não compreendi, quer dizer que o MDC deles seria 1? A resposta é sim. Há algum outro número inteiro e positivo que divide 12 e 7? Não, não há.

O valor de p e q seria 12 e 7 respectivamente? Sim. Mas para resolver a questão isso é um tanto relevante. Veja que ele quer saber o resultado de p + q; a ordem das parcelas não altera a soma. Tenha em mente que precisávamos encontrar uma fração irredutível e depois somar as suas partes.

Mas não seria somente o 7 primo? Não é bem isso. Você está confundindo número primo com primos relativos. Sete é sim um número primo e doze não, mas quando procuramos um número que divida doze e sete simultaneamente só encontramos 1 e nesses casos dizemos que doze e sete são primos entre si.

Aqui, por que você multiplicou por 1?
$\frac{p}{q}\equi=\frac{1}{1} \cdot \frac{12}{7}$

Quando temos uma fração dividindo outra o que devemos fazer? Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Fiz isso nessa parte --> $\frac{p}{q}\equi=\frac{1}{\frac{7}{12}}$ . Depois apliquei a propriedade e ficou assim $\frac{p}{q}\equi=\frac{1}{1} \cdot \frac{12}{7}$

:coffee: