Limites de sequencias.

por **TheoFerraz** » Dom Mai 01, 2011 12:49

Bom, eu estava resolvendo uma lista de limites de sequencias que meu professor passou, e me deparei com dois problemas que nao faço ideia de como resolve-los:

01. Prove que se 0 < a < 1, entao:
$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}{a}^{k}=\frac{a}{1-a}$ .

e

02. Calcule
$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{{n}^{3}}\sum_{k=1}^{n}{k}^{2}$ .

Não soube resolver esses, mas consegui resolver o resto da lista toda... E me ocorreu que se eu conseguisse um modo de determinar os termos gerais de sequencias, sequencias que somam n termos nesses casos, eu conseguiria resolve-los mais facilmente. Basicamente é o que se pede no primeiro exercicio, certo. Mas o que eu imaginava era algo como, um termo geral em função de n que quando eu calculasse o limite desse termo geral tal que n tendesse ao infinito eu obteria o mesmo resultado da prova 01.
Acredito que tenha ficado pouco claro, vou tentar esclarecer um pouco mais
se eu tenho a sequencia (no caso da primeira) com n = 3 por exemplo. eu tenho os numeros: a, a², e a³... a soma a + a² + a³, se eu tiver n = 4 terei um termo a mais, em fim, se eu tivesse o termo geral para qualquer 'n' eu poderia calcular o limite com o n tendendo ao infinito e seria a mesma coisa que calcular o primeiro exercicio.

Bom, essa é a minha duvida, eu tentei pesquisar na internet nao obtive resultado (tbm por que minha duvida é dificil de ser colocada em palavras chave)

Muitíssimo obrigado!

por **LuizAquino** » Seg Mai 02, 2011 00:15

Achar uma expressão explícita para o resultado de um somatório nem sempre é simples.

Entretanto, nesse dois casos temos que:
(i) $\sum_{k=1}^{n}{a}^{k}=\frac{a(a^n-1)}{a-1}$ , com a um número real diferente de 1 -- Nesse caso, temos a soma do n termos de uma P.G..

(ii) $\sum_{k=1}^{n}{k}^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ -- Nesse caso, há uma demonstração dessa identidade no apêndice sobre somatórios no livro de Cálculo de James Stewart.

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