Dúvida Eq. Diferenciais 2ª Ordem - Ex. Aplicado

por **daniel2678** » Qua Abr 27, 2011 02:14

Gente, estou com problemas para resolver estes exercícios e eles valem nota pra amanhã. Já postei em outros lugares e ninguém conseguiu me fazer entender.

Encontre a carga estacionária e a corrente estacionária em um circuito em
série RCL quando L = 1h, R = 2?, C = 0,25f e E(t) = 50cos(t)V.

e

Ache a carga no capacitor em um circuito em série LRC em t = 0,01s quando
L = 0,05h, R = 2?, C = 0,01f, E(t) = 0V, qo = 5C e i(0) = 0A. Determine a
primeira vez em que a carga sobre o capacitor é igual a zero.

Utilizei a fórmula LQ''+RQ'+Q/C=E(t) no primeiro exercício para chegar em Q"+2Q'+4Q=50cos(t), mas não sei resolver.

O segundo exercício eu só sei a resposta final. Eu estou tentando desde o sábado e nada... É questão de vida ou morte agora... Obrigado!

por **LuizAquino** » Qua Abr 27, 2011 10:59

Para resolver a equação diferencial Q"+2Q'+4Q=50cos(t), você precisa usar a estratégia de que a função Q(t) tem o formato:
$Q(t) = A\cos t + B\,\textrm{sen}\,t$ .

O seu objetivo será determinar as constantes A e B. Para isso, comece substituindo a função na equação diferencial:
$(A\cos t + B\,\textrm{sen}\,t)^{\prime\prime} + 2(A\cos t + B\,\textrm{sen}\,t)^\prime + 4(A\cos t + B\,\textrm{sen}\,t) = 50\cos t$

Resolvendo as derivadas e arrumando a equação, você obtém:
$(3A+2B)\cos t + (-2A+3B)\,\textrm{sen}\,t = 50 \cos t$

Agora, basta você resolver o sistema:
$\begin{cases} 3A+2B=50 \\ -2A+3B=0 \end{cases}$

Observação
Para armar o sistema basta notar que temos a equação:
$(3A+2B)\cos t + (-2A+3B)\,\textrm{sen}\,t = 50 \cos t + 0\textrm{\,sen}\,t$

por **0146251** » Seg Mai 25, 2015 21:42

Ache a carga no capacitor em um circuito em série LRC em t = 0,01s quando
L = 0,05h, R = 2?, C = 0,01f, E(t) = 0V, qo = 5C e i(0) = 0A. Determine a
primeira vez em que a carga sobre o capacitor é igual a zero.

Conforme a equação acima e faço pela equações lineares com coeficientes contantes.

Então tenho a equação:

0,05d²/dt² + 2 dq/dt + 1/0,01q = 0

então obtenho o resultado e para descobrir c1 e c2 faço q(0)=5 e q'(0)=0

Obtendo então c1 e c2, altero apenas o t pelo 0,01s.

Está correto esse raciocínio ?