Abrindo e fechando armários

por **admin** » Sáb Jul 21, 2007 01:21

Há cinqüenta alunos e cinqüenta armários (numerados de 1 a 50) na Gauss High School. No início, todos os armários estavam fechados. Então, o primeiro aluno aproximou-se e os abriu todos. Depois, o segundo aluno se aproximou e fechou cada segundo armário. O terceiro aluno então se acercou e inverteu a situação de cada terceiro armário (se estava aberto ele o fechava, se estava fechado, ele o abria). O quarto aluno inverteu a situação de cada quarto armário etc. Finalmente, o qüinquagésimo aluno inverteu a situação do qüinquagésimo armário (o último). Agora, quais os armários abertos?

por **Neperiano** » Sáb Jun 21, 2008 15:12

Abertos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 40, 49.

Não vou mostrar o meu calculo porque não vai entrar na página.

por **Neperiano** » Dom Out 12, 2008 12:51

Ola pessoal

E fabiosouza, esta certo ou não?

Abraços

por **admin** » Ter Out 14, 2008 18:02

Olá Maligno!

Eu ainda não havia resolvido este exercício.
Resolvendo agora obtive os mesmos armários abertos que você citou.

Estive pensando que mais interessante do que os armários abertos do final é nos perguntarmos:
Qual é a "lei" dos armários abertos (ou dos fechados)?

Este raciocínio resulta nas seguintes afirmações:
-os números correspondentes aos armários abertos possuem um número ímpar de divisores.
-os números correspondentes aos armários fechados possuem um número par de divisores.

Após algum trabalho para chegarmos a esta conclusão, a determinação dos armários abertos e fechados fica facilitada.
Até mais!

por **Neperiano** » Ter Out 14, 2008 21:11

Ola Fabio

Na verdade, eu resolvi essa questão de uma maneira longa e cansativa, mas é a unica que eu sei, afinal sou apenas um aluno de segundo ano de ensino médio. Eu coloquei todos os armarios de 1 a 50, e fui trocando a ordem, quando fechava e abria, ou seja quando um numero se dividia por outro.

Abraços

por **admin** » Qua Out 15, 2008 00:47

Maligno, mas podemos chegar àquelas conclusões começando quase assim mesmo.

Minha sugestão é numerar os 50 estudantes (em colunas).
Para cada estudante, anote os armários que ele inverteu (em linhas).

1ª conclusão) Como o aluno 1 abriu todos os armários, a cada vez que um número de armário reaparece (mudando as colunas), a posição da porta do armário é invertida. Logo, se um certo armário aparecer um número par de vezes do aluno 1 ao 50, então este armário ficou fechado. Se aparecer um número ímpar de vezes, ele ficou aberto.

2ª conclusão) Já assim facilita, mas ainda podemos perceber outra peculiaridade para não ficarmos contando.
Repare no número de cada armário e na quantidade de vezes que ele aparece. Tentando relacionar este números, percebemos que a quantidade de vezes que ele aparece é também a quantidade de divisores inteiros que ele possui.

Exemplos:

O armário 2 aparece duas vezes e possui dois divisores $2=1\cdot 2$ .

O armário 4 aparece 3 vezes, $4=1 \cdot 2\cdot 2$ , os divisores são 1, 2 e 4, logo, fica aberto.

Vamos considerar um armário mais adiante...
O armário 32, quantas vezes aparece? Sem mais contar, pensemos nos divisores, $32 = 1 \cdot 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ . Os divisores são 1, 2, 4, 8, 16 e 32. Um número par de divisores, então ele fica fechado, aparece 6 vezes.

Note que todos os armários cujos números são primos aparecem apenas duas vezes, portanto, também ficam fechados.

Este procedimento é mais prático pois a quantidade divisores não é grande para cada número de armário.
Por exemplo, entre 1 e 50, 48 é o que tem mais divisores, possui 10. Os demais ficam abaixo disso, sendo a maioria com 2, 3 ou 4.

Até mais!