Integral em coordenadas esféricas

por **bruna106** » Sáb Abr 09, 2011 15:22

Olá Boa Tarde

Estou tentando resolver um exercício mas o resultado não confere com o do livro. Se alguém puder me ajudar
eu ficarei muito grata.

**** A questão com a figura e resposta está em anexo ****

Para calcular o volume tentei fazer assim:

Limites:
$0\leq\theta\geq\frac{3\pi}{2}$
$0\leq\phi\geq\frac{\pi}{2}$
$2\leq\rho\geq\ 5$

$\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{2}^{5} (50 -\frac{100}{{\rho}^{2}}).{\rho}^{2}sen\phi d\rho d\phi d\theta$
$\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{2}^{5} 50{\rho}^{2}sen\phi - 100sen\phi d\rho d\phi d\theta$
$\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{50{\rho}^{3}sen\phi}{3} - 100\rho sen\phi d\phi d\theta$
$\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{950 sen\phi}{3} - 300sen\phi d\phi d\theta$
$\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \frac{-950 cos\phi}{3} + 300scos\phi d\theta$

Parei por aqui pois quando substitui meus limites de phi notei que o resultado seria muito próximo de zero e conseqüentemente nÃo resultará no valor correto.
Não sei se meus limites estão errados ou se integrei algo errado. Alguém pode me ajudar por favor?

Muito Obrigada

por **LuizAquino** » Seg Abr 11, 2011 11:04

A casca esférica no exercício pode ser representada pela região em coordenadas esféricas:

$R = \left\{(\rho,\, \theta,\, \phi) \,|\, 2\leq \rho \leq 5,\, \frac{\pi}{2}\leq \theta \leq 2\pi,\, 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2}\right\}$

O volume dessa região será dada pela integral tripla (em coordenadas esféricas):
$V = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} \int_{2}^{5} \rho^2\textrm{sen }\phi\, d\rho d\theta d\phi$

O exercício diz que a temperatura (em coordenadas esféricas) da região é dada por $T(\rho,\, \theta,\, \phi) = 50 - \frac{100}{\rho^2}$ (em graus Celsius).

Desse modo, a temperatura média sobre essa região será:
$\overline{T} = \frac{1}{V}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} \int_{2}^{5} T(\rho,\, \theta,\, \phi)\rho^2\textrm{sen }\phi\, d\rho d\theta d\phi$

Agora, refaça o exercício considerando essas informações.

Integral em coordenadas esféricas

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