ITA - introdução

por **Abelardo** » Sáb Abr 09, 2011 19:11

Considere uma função $f: R \rightarrow R$ não-constante e tal que $f(x + y)= f(x)f(y), \forall x, y E R$ . Das afirmações :
I) $f(x)> 0, \forall n E$ naturais não-nulos
II) $f(nx)= {[f(x)]}^{n}, \forall x E$ Reais, $\forall n E$ naturais não-nulos
III) $f(-x)= f(x), \forall x E$ Reais.

por **Molina** » Sáb Abr 09, 2011 19:45

Aberlado, o que pretende-se nesta questão?

por **Abelardo** » Sáb Abr 09, 2011 21:21

Desculpe-me Molina, esqueci o resto...

Completando a questão ''é (são) verdadeiras?'' A questão quer saber qual delas é verdadeira, mas eu fiquei flutuando porque diz que a função é não-constante!! Se puderes fazer um comentário sobre isso, ficaria muito grato.

por **Molina** » Dom Abr 10, 2011 00:08

Boa noite, Abelardo.

Acho que neste contexto o termo não constante refere-se a função ser diferente de $f(x)=a~~ onde~ a \in R$ . Ou seja, a função terá valor a independente do x escolhido. Exemplos:

f(x)=2

etc.

Voltando a sua questão, no item I) você cita $\forall n$ , porém não há n na função. [Esclareça se não há algum erro de digitação] *-)

No item II) temos que:

$f(nx)=f(x + x + ... + x)=f(x)*f(x)*...*f(x)=[f(x)]^n \Rightarrow f(nx)=[f(x)]^n$ :y:

Não estou conseguindo provar o item III)

por **Abelardo** » Dom Abr 10, 2011 00:15

há sim erro de digitação, como sofro sem saber colocar o símbolo dos número naturais e dos reais..

Na primeira afirmação tem sim um erro, qualquer que seja ''X'' pertencente aos números reais.

por **VtinxD** » Dom Abr 10, 2011 02:30

Essa equação funcional tem solução igual a $f(x)={a}^{x}$ ,mas não é necessário saber disso para resolver a questão.Ja vou assumir a prova do molina do segundo e provar que o terceiro é falso, para poder provar o primeiro.
3° $f(x+0)=f(x)f(0)\Rightarrow f(0)=1\Rightarrow f(x+(-x))=f(x)f(-x)$ $\Rightarrow f(x)=\frac{1}{f(-x)}$

Perceba que f(x) não pode ser igual a zero pois se não f(-x) não estaria definido ,contradizendo assim o fato de que f(x) está definido para todo x.
1° $f(2x)={f(x)}^2$ .Como $f(x)\in \Re$ então ${f(x)}^{2}\geq0$ e como f(x) é diferente de 0 ,temos:
f(2x)> 0

e como isto é valido para todo x real então se x=y/2 tambem vai ser valido para todo y real,logo f(y)>0

.
Espero ter ajudado

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