Questão prova concurso 2011 - complexos

[fernandocez]

Caros amigos fiz a prova prá professor de matemática domingo, não consegui fazer quase todas questões. Já vi que tenho que estudar muito pro próximo. Essa é uma delas.

50) Uma das raízes complexas da equação x³ + 3x² + 8x - 6 = 0 é:
resp:

Eu tentei assim:
x³ + 3x² + 8x - 6 = 0
x [x (x - 3) + 8] - 6 = 0 Achei que (x - 3) era uma das raízes, usei o método "Briot-Ruffini " aquele que parece uma divisão no final tem que restar zero. Não dá zero.

Tentei também (a + b)(a² + 2ab + b²) e não foi. ai desisti e chutei essa e um monte das outras, mesmo assim fiz 26 pontos faltaram só 4 pontos em matemática prá passar foi quase.

[Elcioschin]

fernandocez

Imagino que a questão tinha alternativas, sendo uma delas 1 + i*V3.
Você deveria tê-las colocado, pois fazem parte do enunciado
Imagino que existe um erro na questão:

Se (1 + i*V3) é raiz ----> (1 - i*V3) é outra raiz

Pelas relações de Girard, sendo m a terceira raiz ----> (1 + i*V3) + (1 - i*V3) + m = - 3/1 ----> m = - 5

Logo, a terceira raiz seria x = - 5

Aplicando Briot- Ruffini para x = - 5

...|1 ....... 3 ........ 8 ........ - 6
-5 |1 ...... -2 ....... 18 ....... - 96 ----> Resto = - 96

Logo (1 + i*V3) NÃO pode ser raiz

Por favor confira o enunciado

[FilipeCaceres]

Ola fernando,
Vou pedir para você olhar a sua equação novamente, pois esta raiz não pertence a este polinômio.

Abraço.

[fernandocez]

fernandocez

Imagino que a questão tinha alternativas, sendo uma delas 1 + i*V3.
Você deveria tê-las colocado, pois fazem parte do enunciado
Imagino que existe um erro na questão:

Se (1 + i*V3) é raiz ----> (1 - i*V3) é outra raiz

Pelas relações de Girard, sendo m a terceira raiz ----> (1 + i*V3) + (1 - i*V3) + m = - 3/1 ----> m = - 5

Logo, a terceira raiz seria x = - 5

Aplicando Briot- Ruffini para x = - 5

...|1 ....... 3 ........ 8 ........ - 6
-5 |1 ...... -2 ....... 18 ....... - 96 ----> Resto = - 96

Logo (1 + i*V3) NÃO pode ser raiz

Por favor confira o enunciado

Oi Elcio, realmente digitei errado, tanto o enunciado que é: x³ - 3x² + 8x -6 = 0 e a resposta certa é: . Independente disso vc me ensinou como resolver, é só ir pelas alternativas e usar a relação de Girard. Desculpe e obrigado.

Ola fernando,
Vou pedir para você olhar a sua equação novamente, pois esta raiz não pertence a este polinômio.

Abraço.

Oi Felipe, como falei com o Elcio digitei errado tanto a equação que é: x³ - 3x² + 8x -6 = 0, quanto a resposta. a certa é: . Desculpe e obrigado.

[Elcioschin]

1 + i*V5 também NÃO é raiz ---> Continua errado

Alem disso vc não atendeu ao meu pedido: NÃO postou as alternativas.

Assim fica difícil ajudá-lo

[fernandocez]

fernandocez

Eu continuo com uma dúvida. Eu usei a relação na opção (a) e deu 1 como raiz, na (b) também deu 1 como raiz, só a opção (c) deu -1. A (d) que é a certa deu 1 também e a (e) deu -1. Se eu usasse a relação de Girard logo na (a) já encontraria a raiz, só que a resposta taria errada por não ser a outra raiz (complexa) procurada. Tem mais alguma coisa que falta fazer pra confirmar se a raiz é a procurada?

Eu aproveitei o 1 e usei de raiz e é uma delas mesmo, ai eu fiz por Baskara e encontrei as outras duas. Mas foi sorte ser 1 uma das raízes. Na prova eu nem pensei em tentar por 1.
Outra dúvida: Sempre vai ter duas raízes simétricas?

[FilipeCaceres]

Quando se quer encontar as raízes de um polinômio a primeira coisa a se fazer é dar uma olhada para ser se encontra alguma raiz real.
Seja,
de coeficientes reais inteiros, admite uma raiz racional
onde e p,q sao primos entre si, entao p é divisor de e q é divisor de .

Ex.

Entao e

Assim, as possíveis raizes reais seriam


Logo, encontrariamos como raiz os números


Voltando para a questão x³ - 3x² + 8x -6 = 0
logo temos que,
e

Assim teriamos que os possíveis valores seriam,


Claro que não iriamos testar todos, mas -1,1,2,3 esses valores normalmente se testa.

Por inspeção chegaremos que 1 e raiz.
Baixando o grau por Briot-Ruffini teremos,


E por Báskara teremos como raiz



Nos números complexos, as raizes vem aos pares, ou seja, se a+bi é raiz o seu conjudado também é a-bi.

Logo,x³ - 3x² + 8x -6 = 0 tem como raizes:




Espero ter ajudado.

[fernandocez]

Quando se quer encontar as raízes de um polinômio a primeira coisa a se fazer é dar uma olhada para ser se encontra alguma raiz real.
Espero ter ajudado.

Com certeza ajudou muito, depois dessa aula eu não posso errar nunca mais uma questão dessa. Obrigado.

[fernandocez]

1 + i*V5 também NÃO é raiz ---> Continua errado

Alem disso vc não atendeu ao meu pedido: NÃO postou as alternativas.

Assim fica difícil ajudá-lo

Oi Elcio, é que eu escrevi a equação errada também. A correta eu postei acima. Mas já tá resolvido valeu o esforço, eu aprendi com que vc postou e o felipe complementou. Obrigado e desculpa aí.