Questão prova concurso 2011 - complexos

por **fernandocez** » Ter Mar 29, 2011 19:06

Caros amigos fiz a prova prá professor de matemática domingo, não consegui fazer quase todas questões. Já vi que tenho que estudar muito pro próximo. Essa é uma delas.

50) Uma das raízes complexas da equação x³ + 3x² + 8x - 6 = 0 é:
resp: $1+i\sqrt[]{3}$

Eu tentei assim:
x³ + 3x² + 8x - 6 = 0
x [x (x - 3) + 8] - 6 = 0 Achei que (x - 3) era uma das raízes, usei o método "Briot-Ruffini " aquele que parece uma divisão no final tem que restar zero. Não dá zero.

Tentei também (a + b)(a² + 2ab + b²) e não foi. ai desisti e chutei essa e um monte das outras, mesmo assim fiz 26 pontos faltaram só 4 pontos em matemática prá passar foi quase.

por **Elcioschin** » Ter Mar 29, 2011 19:48

fernandocez

Imagino que a questão tinha alternativas, sendo uma delas 1 + i*V3.
Você deveria tê-las colocado, pois fazem parte do enunciado
Imagino que existe um erro na questão:

Se (1 + i*V3) é raiz ----> (1 - i*V3) é outra raiz

Pelas relações de Girard, sendo m a terceira raiz ----> (1 + i*V3) + (1 - i*V3) + m = - 3/1 ----> m = - 5

Logo, a terceira raiz seria x = - 5

Aplicando Briot- Ruffini para x = - 5

...|1 ....... 3 ........ 8 ........ - 6
-5 |1 ...... -2 ....... 18 ....... - 96 ----> Resto = - 96

Logo (1 + i*V3) NÃO pode ser raiz

Por favor confira o enunciado

por **FilipeCaceres** » Ter Mar 29, 2011 20:02

Ola fernando,
Vou pedir para você olhar a sua equação novamente, pois esta raiz não pertence a este polinômio.

Abraço.

por **fernandocez** » Ter Mar 29, 2011 20:29

Elcioschin escreveu:fernandocez

Imagino que a questão tinha alternativas, sendo uma delas 1 + i*V3.
Você deveria tê-las colocado, pois fazem parte do enunciado
Imagino que existe um erro na questão:

Se (1 + i*V3) é raiz ----> (1 - i*V3) é outra raiz

Pelas relações de Girard, sendo m a terceira raiz ----> (1 + i*V3) + (1 - i*V3) + m = - 3/1 ----> m = - 5

Logo, a terceira raiz seria x = - 5

Aplicando Briot- Ruffini para x = - 5

...|1 ....... 3 ........ 8 ........ - 6
-5 |1 ...... -2 ....... 18 ....... - 96 ----> Resto = - 96

Logo (1 + i*V3) NÃO pode ser raiz

Por favor confira o enunciado

Oi Elcio, realmente digitei errado, tanto o enunciado que é: x³ - 3x² + 8x -6 = 0 e a resposta certa é: $1+i\sqrt[]{5}$ . Independente disso vc me ensinou como resolver, é só ir pelas alternativas e usar a relação de Girard. Desculpe e obrigado.

filipecaceres escreveu:Ola fernando,
Vou pedir para você olhar a sua equação novamente, pois esta raiz não pertence a este polinômio.

Abraço.

Oi Felipe, como falei com o Elcio digitei errado tanto a equação que é: x³ - 3x² + 8x -6 = 0, quanto a resposta. a certa é: $1+i\sqrt[]{5}$ . Desculpe e obrigado.

por **Elcioschin** » Ter Mar 29, 2011 21:13

1 + i*V5 também NÃO é raiz ---> Continua errado

Alem disso vc não atendeu ao meu pedido: NÃO postou as alternativas.

Assim fica difícil ajudá-lo

por **fernandocez** » Ter Mar 29, 2011 21:22

Elcioschin escreveu:fernandocez

Eu continuo com uma dúvida. Eu usei a relação na opção (a) e deu 1 como raiz, na (b) também deu 1 como raiz, só a opção (c) $2+i\sqrt[]{3}$ deu -1. A (d) que é a certa deu 1 também e a (e) deu -1. Se eu usasse a relação de Girard logo na (a) já encontraria a raiz, só que a resposta taria errada por não ser a outra raiz (complexa) procurada. Tem mais alguma coisa que falta fazer pra confirmar se a raiz é a procurada?

Eu aproveitei o 1 e usei de raiz e é uma delas mesmo, ai eu fiz por Baskara e encontrei as outras duas. Mas foi sorte ser 1 uma das raízes. Na prova eu nem pensei em tentar por 1.
Outra dúvida: Sempre vai ter duas raízes simétricas?

por **FilipeCaceres** » Ter Mar 29, 2011 22:00

Quando se quer encontar as raízes de um polinômio a primeira coisa a se fazer é dar uma olhada para ser se encontra alguma raiz real.
Seja,
$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0,(a_n\neq 0)$ de coeficientes reais inteiros, admite uma raiz racional $\frac{p}{q}$
onde $p \epsilon \integers\mathbb{Z}, q \epsilon \mathbb{Z}_+$ e p,q sao primos entre si, entao p é divisor de a_0

e q é divisor de a_n

.

Ex.

Entao $q={1\right}$ e $p=\left{-1,-2,-3,1,2,3,6\right}$

Assim, as possíveis raizes reais seriam
$\frac{p}{q}=\left{-1,-2,-3,1,2,3,6\right}$

Logo, encontrariamos como raiz os números
$\frac{p}{q}=\left{2,3\right}$

Voltando para a questão x³ - 3x² + 8x -6 = 0
logo temos que,
$q=\left{1,2,3,6\right}$ e $p=\left{-1,-2,-3,1,2,3,6\right}$

Assim teriamos que os possíveis valores seriam,
$\frac{p}{q}=\left{-1,-2,-3,1,2,3,6,\frac{-1}{2},...,1\right}$

Claro que não iriamos testar todos, mas -1,1,2,3 esses valores normalmente se testa.

Por inspeção chegaremos que 1 e raiz.
Baixando o grau por Briot-Ruffini teremos,
x^2-2x+6=0

E por Báskara teremos como raiz
$1+i\sqrt{5}$
$1-i\sqrt{5}$

Nos números complexos, as raizes vem aos pares, ou seja, se a+bi é raiz o seu conjudado também é a-bi.

Logo,x³ - 3x² + 8x -6 = 0 tem como raizes:

$1+i\sqrt{5}$
$1-i\sqrt{5}$

Espero ter ajudado.

por **fernandocez** » Qua Mar 30, 2011 11:43

filipecaceres escreveu:Quando se quer encontar as raízes de um polinômio a primeira coisa a se fazer é dar uma olhada para ser se encontra alguma raiz real.
Espero ter ajudado.

Com certeza ajudou muito, depois dessa aula eu não posso errar nunca mais uma questão dessa. Obrigado.

por **fernandocez** » Qua Mar 30, 2011 11:51

Elcioschin escreveu:1 + i*V5 também NÃO é raiz ---> Continua errado

Alem disso vc não atendeu ao meu pedido: NÃO postou as alternativas.

Assim fica difícil ajudá-lo

Oi Elcio, é que eu escrevi a equação errada também. A correta eu postei acima. Mas já tá resolvido valeu o esforço, eu aprendi com que vc postou e o felipe complementou. Obrigado e desculpa aí.