Resolução de Inequação com Raiz

por **edumstpu** » Sex Mar 25, 2011 19:24

Boa noite. Estou resolvendo a seguinte expressão:
Expressão no.1:
$\sqrt{15-2x} \gg x$
Utilizando o método de elevar ambos os termos ao quadrado me retorna essa inequação:
Expressão no.2:
${x}^{2}+2x-15 \ll 0$
Dessa inequação tiro que a solução é
]-5,3[

Porém, se eu colocar uma valor menor(por exemplo, -30) na inequação no. 1, ela é verdadeira, se eu usar o mesmo valor na inequação no.2, ela se torna falsa.
Pode-se observar que elevar ambos os "lados" da inequação altera a solução da mesma.
Gostaria de saber outra forma de resolver a mesma expressão sem esse problema.

Agradeço desde já.

por **MarceloFantini** » Sex Mar 25, 2011 20:13

Elevar ambos ao quadrado não altera a solução. O problema é que você está pegando valores que não fazem parte da solução.

por **edumstpu** » Sex Mar 25, 2011 20:31

Certo, mas veja dessa forma:
A solução encontrada pela expressão no.2 foi:
]-5;3[

Ou seja, -30 está fora da solução.
Mas se eu colocar o -30 na expressão no.1 ela resulta verdadeira, ou seja, -30 deveria fazer parte da solução:
$\sqrt{15-2\left(-30 \right)} \gg -30 \Rightarrow \sqrt{75} \gg -30$

Agradeço a resposta.

por **MarceloFantini** » Sex Mar 25, 2011 21:04

É verdade, não tinha notado isso. Refletirei mais.

por **FilipeCaceres** » Sex Mar 25, 2011 22:14

Olá edumstpu

Para inequações do tipo $\sqrt{a}>b$
Neste caso, em primeiro lugar,devemos ter $a\geq 0$ . Satisfeita esta condição, $\sqrt{a}\geq 0$ . assim, se por exemplo b for negativo, a inequação estará automaticamente satisfeita.
Ex. $\sqrt{x-3}\geq-5$

Solução:
Desde que $\sqrt{x-3}$ seja real, teremos $\sqrt{x-3}\geq0$ e portanto,
$\sqrt{x-3}>-5\Rightarrow x-3\geq0 \Rightarrow x\geq3$
$S={{x\in\mathbb{R}|x\geq3}}$

Continuando...
Se $b\geq0$ ,teremos a>b^2

. Em resumo:
$\sqrt{a}>b\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} a>b^2 &e&b\geq0 \\ ou\\ a\geq0& e &b<0 \end{matrix}\right.$

Resolvendo a questão:
$\sqrt{15-2x}>x\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 15-2x>x^2&e&x\geq0 (i) \\ ou\\ 15-2x\geq0&e&x<0 (ii) \end{matrix}\right.$

De (i) vem que:
S_1=[0,3[

De (ii) vem que:
$S_2=]-\infty,0[$

Desta forma teremos como resposta $S=S_1\cup S_2=]-\infty,3[$
Ou se você preferir $S=S_1\cup S_2={{x\in\mathbb{R}|x<3}}$

Espero ter ajudado.

por **MarceloFantini** » Sex Mar 25, 2011 22:16

Boa explicação Filipe.

por **edumstpu** » Sex Mar 25, 2011 22:27

Olá. Agradeço as respostas. A propósito, Felipe, ótima explicação, foi breve e concisa. Essa propriedade das inequações parece ser pouco conhecida, pois não a encontrei na internet. E sem dúvida sua resposta me ajudou.

Novamente, obrigado. E até outra oportunidade.