Dúvida - Conjuntos

por **Mirian** » Qua Mar 23, 2011 17:11

52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era:
I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;
II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;
III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:

SOLUÇÃO:

Considere a figura abaixo, onde estão representados os conjuntos A e B, e a quantidade de elementos x, y, z e w.

(NÃO DÁ PARA COLOCAR A FIGURA )

Pelo enunciado do problema, poderemos escrever:
x+y+z+w = 52
y+z = 4y
y+z = 2(x+y)
y+z = w/2
Desenvolvendo e simplificando, vem:
x+y+z+w = 52 (eq.1)
z = 3y (eq. 2)
z = 2x + y (eq. 3)
w = 2y + 2z (eq. 4)

Substituindo o valor de z da eq. 2 na eq. 3, vem: x = y
Podemos também escrever: w = 2y + 2(3y) = 8y
Expressando a eq. 1 em função de y, vem:
y + y + 3y + 8y = 52 e, daí vem: 13y = 52, de onde vem y = 4.

Temos então por simples substituição:
z = 3y = 12
x = y = 4
w = 8y = 32

A partir daí, é que vem a sutileza do problema. Vejamos:
O problema pede para determinar o número de pessoas que não gostam dos produtos A e B. O conectivo e indica que devemos excluir os elementos da interseção AÇ B. Portanto, a resposta procurada será igual a:
w + x + z = 32 + 4 + 12 = 48 pessoas.

DÚVIDAAA!
A resposta seria 32 (como muitos acham como resultado)EU SERIA +/- ESSA PESSOA, se a pergunta fosse:
Quantas pessoas não gostam do produto A ou do produto B?

pode ser besteira, mas...
bom, meu pensamento é que o y é o que dá preferência aos dois produtos! *-)

e a perguntam é que NÃO gostam de B
então..seria w+x -> 36

AGRADEÇO DESDE JÁ! :y:

por **Fabricio dalla** » Qui Mar 24, 2011 09:05

olá Mirian
bom eu estava olhando sua resolução e percebi que vc tem que colocar o que representa cada letra! porque fica dificil entender por alguem de "fora" acompanhar seu raciocinio

A resposta seria 32 (como muitos acham como resultado)EU SERIA +/- ESSA PESSOA, se a pergunta fosse:
Quantas pessoas não gostam do produto A ou do produto B?

ue! e porque que estaria errado em perguntar o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos ?

se a pergunta fosse Quantas pessoas não gostam do produto A ou do produto B.EU acredito que seria a msm coisa pois o conectivo "ou" que vc coloco dá a ideia de união msm

por **LuizAquino** » Qui Mar 24, 2011 10:42

Mirian escreveu:52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era:
I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;
II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;
III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:

Eis um diagrama de Venn para o exercício.

: diagrama-venn.png (4 KiB) Exibido 6864 vezes

Temos que x+x+3x+8x=52, de onde obtemos que x=4.

Lembre-se que se uma pessoa gosta apenas de um dos produtos, então não podemos dizer que ela gosta dos dois produtos.

Desse modo, o número de pessoas que não gostam dos dois produtos é x+3x+8x=48.

Mirian escreveu:DÚVIDAAA!
A resposta seria 32 (como muitos acham como resultado)EU SERIA +/- ESSA PESSOA, se a pergunta fosse:
Quantas pessoas não gostam do produto A ou do produto B?

Correto. Basta lembrar que "A ou B" significa $A\cup B$ . Portanto, nesse exercício, do universo de 52 pessoas devemos tirar (x+x+3x), o que resta apenas 8x.