Inequação Modular (Dúvida)

[renanrdaros]

Como faço para resolver esta inequação sem o método de elevar ambos os lados ao quadrado?

|x-2|<|x+1|

Sempre que tento resolver acabo cancelando a variável x em ambos os lados.

[MarceloFantini]

Tente passar para o outro lado, avalie onde cada módulo é positivo e negativo e trabalhe com cada caso.

[renanrdaros]

Fantini,

Passei (x+1) para o outro lado, mas dá no mesmo. Continuo anulando a variável x.

[MarceloFantini]

Você não fez a avaliação que eu comentei. Existe um caso onde x não se anula.

[renanrdaros]

Valeu, Fantini.

Analisei os casos restantes e cheguei perto do resultado. Por que perto do resultado? Porque, pelos meus cálculos, eu tenho uma condição que me diz que x<2.

|x-2| = -x+2, se x-2<0 <--> x<2

O resultado correto da questão seria: S=

Com a condição citada eu cheguei em S=

Onde é que eu tô fazendo a confusão???????

[LuizAquino]

Analise o sinal dos termos (x+1) e (x-2) como já havia sido dito.

inequacao-modular.png (3.06 KiB) Exibido 10916 vezes

Desse modo, a inequação |x-2|<|x+1| gera tem 3 inequações:
(i) -(x-2) < -(x+1), se x < -1.
(ii) -(x-2) < (x+1), se -1<= x < 2.
(iii) x-2 < x+1, se x >= 2.

Resolva cada uma das inequações e em seguida tome a união das soluções.

[renanrdaros]

Luiz,

Eu estou resolvendo cada um dos casos, mas sempre chego em S= por causa das condições.

[LuizAquino]

|x-2|<|x+1|

(i) -(x-2) < -(x+1), se x < -1.
x-2 > x+1
-2 > 1


(ii) -(x-2) < (x+1), se -1<= x < 2.
x-2 > -x-1
x > 1/2


(iii) x-2 < x+1, se x >= 2.
-2 < 1


Solução final:

[renanrdaros]

(iii) x-2 < x+1, se x >= 2.
-2 < 1
S3 = [2,\, +\infty)\cap \mathbb{R} = [2,\, +\infty)

Era sempre nessa parte que eu encalhava. Eu achava que por ficar sem uma variável x na resolução do problema, ele não tinha solução.

[LuizAquino]

Vale a pena enxergar a interpretação geométrica dessa inequação modular.

Se f(x)=|x-2| e g(x)=|x+1|, você quer saber quando que f(x)<g(x). Ou seja, quando o gráfico da função f está abaixo do gráfico da função g. A figura abaixo ilustra essa situação.

graficos-funcoes-modulares.png (4.54 KiB) Exibido 10910 vezes

[renanrdaros]

|x-2|<|x+1|

(i) -(x-2) < -(x+1), se x < -1.
x-2 > x+1
-2 > 1


(ii) -(x-2) < (x+1), se -1<= x < 2.
x-2 > -x-1
x > 1/2


(iii) x-2 < x+1, se x >= 2.
-2 < 1


Solução final:

LuizAquino,

Uma última dúvida: Por que você não aprensentou também o caso em que: |x-2|0 e |x+1|<0 ??

[renanrdaros]

Foi porque, de cara, uma condição anula a outra?

[LuizAquino]

Basta interpretar a análise dos sinais que fiz anteriormente e você deve perceber que temos que nos preocupar apenas com três casos:
(i) Quando x < -1.
(ii) Quando -1 <= x < 2.
(iii) Quando x >= 2.

[renanrdaros]

Foi o que eu quis dizer. Se eu fosse analisar um quarto caso ficaria:

(iv) e

Uma condição estaria anulando a outra.