exercicio interessante(ajuda) Funçao exponencial

por **Fabricio dalla** » Sex Mar 18, 2011 13:28

Suponha que,ao colocarmos 25kg de açucar na agua,a quantidade de açucar permanece inalterada,apos t horas,seja dada pela função $A(t)=25{e}^{ct}$ , com c sendo uma constante real,e A(t) medindo em kg.Se apos tres horas,a quantidade de açucar restante era de 10kg,quanto tempo será necessario para que restem 5kg de açucar?Dados:use as aproximaçoes Ln(0,4)=-0,92 e LN(0,2)=-1,61

até onde fui
$\frac{3}{5}={e}^{3c}$

e que $\frac{1}{5}={e}^{ct}$
dai elevei ao cubo os 2 menbros da equaçao $\frac{1}{5}={e}^{ct}$
e substitui e fico assim:
$\frac{1}{125}={\frac{3}{5}}^{t}$
aquele t ali e da fraçao (3/5)
elevado a t

ai morri aqui :(

por **Renato_RJ** » Sex Mar 18, 2011 14:05

Boa tarde Fabrício, tudo em paz ??

Primeiramente precisamos saber o valor da constante c, para isso vamos usar o fato de após 3 horas a quantidade restante de açúcar é de 10 kg, veja:

$10 = 25 \cdot e^{3 \cdot c} \Rightarrow \, \frac{10}{25} = e^{3 \cdot c} \Rightarrow \, \frac{1}{25} \cdot 10 = e^{3 \cdot c}$

Veja que $\frac{1}{25} = 0,04$ e multiplicado por 10 resulta em 0,4 e então poderemos aplicar o Ln em ambos os lados da igualdade para obtermos o valor de c:

$\ln(0,4) = 3 \cdot c \Rightarrow \, c = \frac{-0,92}{3} \Rightarrow \, c = -0,3066$

Agora que temos c, podemos obter o tempo necessário para obter os 5 kg.

$5 = 25 \cdot e^{c \cdot t} \Rightarrow \, \frac{5}{25} = e^{c \cdot t} \Rightarrow \, \ln(0,2) = c \cdot t \Rightarrow \, t = \frac{-1,61}{-0,3066} \Rightarrow \, t = 5,26$

Bem, aí é só converter o 0,26 em minutos para ser mais preciso, o que daria, aproximadamente, 15 minutos, então eu acho que sua resposta seria:

O tempo necessário para obter os 5 kg de açúcar é de 5 horas e 15 minutos.

Espero que eu esteja certo, depois posta a resposta correta...

[ ]'s
Renato.

por **Fabricio dalla** » Sex Mar 18, 2011 14:22

é isso ai cara e 5h e 15 min. mas pow, a elaboraçao da questão foi muito mal feita prq em 3horas 15kg de açucar foi diluida
na agua entao tinha que usar o 15kg e nao o 10kg mas vlw por tirar minha duvida!!