Dúvida na demonstração

por **Renato_RJ** » Qui Mar 17, 2011 23:59

Caros colegas, estou resolvendo uns exercícios de um livro de Álgebra da SBM, e existe diversas questões para serem feitas de forma demonstrativa, mas essa eu não tenho tanta certeza se fiz corretamente a demonstração. Alguém poderia verificar e dizer se está correto ?

A questão:

Prove que todo polinômio de grau ímpar sobre $\mathbb{R}$ possui uma raiz em $\mathbb{R}$ .

A demonstração:

Tenhamos $f(x) = k_{0} + k_{1} \cdot x + \cdots + k_{m} \cdot x^{m} \, \textrm{onde} \, m = 2 \cdot n + 1 \in \mathbb{R}$ , como m é ímpar então
f(x)

é ímpar. Agora tenhamos $-a,b,-w,y \in \mathbb{R}$ não nulos tais que:

f(-a) = -w

Segundo o Teorema do Valor Intermediário

De acordo com o mesmo teorema, se $f(a) \, \textrm{e} \, f(b)$ possuem sinais opostos, então

.

Logo c é a raiz do polinômio em $\mathbb{R}$ , então a demonstração está concluída.

por **LuizAquino** » Sex Mar 18, 2011 10:25

Eu sugiro que você leia sobre o Teorema Fundamental da Álgebra:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_da_%C3%A1lgebra

Em linhas gerais, para demonstrar esse teorema eu tentaria usar o fato que toda raiz complexa aparece aos pares. Isso quer dizer que mesmo que um polinômio de grau ímpar tenha raízes complexas, como elas aparecem aos pares, nós teremos pelo menos uma raiz real.

por **Renato_RJ** » Sex Mar 18, 2011 11:14

Luiz, não vou mentir para você, eu até pensei em usar o Teorema Fundamental da Álgebra mas achei que a demonstração ficaria mais complexa e talvez eu não conseguisse concluí-la, por isso pensei em usar o teorema do valor intermediário. Mas vou tentar e posto aqui para discutirmos, o que acha ?

Obrigado pela ajuda,
Renato.

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