Demonstração de Fórmula!!!

por **Abelardo** » Qua Mar 16, 2011 23:28

Encontrei uma questão que pede para ''''demonstrar'''' a fórmula para a quantidade de elementos da junção de três conjuntos. Nomeei os três conjuntos, chemei-os de A,B e C. Logo tenho ${n}_{a \cup b \cup c}$ (Primeira Imagem). A fórmula para a união de dois conjuntos é algo quase intuitivo, logo decompus eles nas respectivas formas simples --> ${n}_{A\cup B}=n(A) + n(B) - n(A\cap B) {n}_{A\cup C}=n(A) + n(C) - n(A\cap C) {n}_{B\cup C}=n(B) + n(C) - n(B\cap C)$ . Somando tudo terei que n(A)

,

e

estão repetidos, assim tomei só um de cada, ficando com ${n}_{a \cup b \cup c}$ = n(A)+n(B)+n(C)

; tenho elementos que podem pertencer a mais de um conjunto, logo retirei todas as intercecções, ficando com ${n}_{a \cup b \cup c}$ = $n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)$ .

A dúvida que tenho é que já vi a fórmula e não entendi o porque do $+n(A\cup B\cup C)$ no final dela. Essa adição dos elementos em comum dos três conjuntos é devida as respectivas subtrações das intersecções que fiz? Qual seria a explicação... caso haja uma demonstração (e sei que tem), por favor, expliquem. Qualquer coisa, esse é meu email ---> abelardo_92_92@hotmail.com

por **LuizAquino** » Qui Mar 17, 2011 10:34

Considere que a fórmula para o número de elementos da união de dois conjuntos já tenha sido provada.

Note que $n(A \cup B \cup C) = n(A \cup (B \cup C))$ .

Aplicando a fórmula para o número de elementos da união de dois conjuntos:

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B \cup C) - n(A \cap (B \cup C))$

Sabemos que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ . Sendo assim, ficamos com:

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B \cup C) - n((A \cap B) \cup (A \cap C))$

Novamente, aplicando a fórmula para o número de elementos da união de dois conjuntos:

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(B\cap C)$ $- [n(A \cap B) + n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C)]$

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(B\cap C)$ $- n(A \cap B) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

Observação
Intuitivamente, é razoável aparecer a adição do termo $n(A\cap B\cap C)$ no final da fórmula. Note que quando fazemos a soma n(A) + n(B) + n(C), nós estamos contando aquele termo três vezes. Em seguida, nós retiramos três vezes aquele termo, já que fazemos a subtração $- (n(B\cap C) + n(A \cap B) + n(A \cap C))$ . Desse modo, até aqui aquele termo não havia sido contado. Por isso que ao final devemos adicioná-lo.