Derivação implicita , quem ajuda ?

por **Loretto** » Ter Ago 03, 2010 02:15

Seja y = f(x) definida implicitamente na equação sec² (x+y) - cos²(x-y) = 3/2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto ( Pi/4, O).

Parece que eu preciso aplicar a derivação na forma implicita. Mas eu ainda não entendi muito bem esse negócio de derivação implicita, alguém me pode dar uma boa explicação, ou mesmo me recomendar um bom site, preciso de ajuda !!!!!!!
Obrigado, vlw !! :idea:

por **Adriano Tavares** » Qua Mar 09, 2011 00:36

Olá,Loreto.

$sec^2(x+y)-cos^2(x-y)=\frac{3}{2}$

Diferenciando ambos os membros em relação a

teremos:

2sec(x+y).sec(x+y).tg(x+y).(1+y')-[2cos(x-y).(-sen(x-y).(1-y')]=0

$2sec^2(x+y)tg(x+y).(1+y')=-2cos(x-y).sen(x-y).(1-y')\\\\ \frac{1+y'}{1-y'}=-2\left(\frac{cos(x-y).sen(x-y)}{2sec^2(x+y).tg(x+y)}\right)$

Substituindo os valores de

e

teremos:

$\frac{1+y'}{1-y'}=-\frac{cos45^\circ.sen45^\circ}{sec^2 45^\circ .tg 45^\circ} \Rightarrow \frac{1+y'}{1-y'}=-\frac{cos 45^\circ.sen 45^\circ}{\frac{1}{cos^2 45^\circ}}}\\\\\frac{1+y'}{1-y'}=-sen45^\circ.cos^3 45^\circ \Rightarrow \frac{1+y'}{1-y'}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3\\\\\frac{1+y'}{1-y'}=-\frac{1}{4} \Rightarrow 4y'+4=-1+y' \Rightarrow y'=-\frac{5}{3}$

Calculando a reta tangente teremos:

$y-y_0=y'(x-x_0) \Rightarrow y=-\frac{5}{3}(x-\frac{\sqrt{2}}{2}) \Rightarrow y=-\frac{5}{3}x+\frac{5\sqrt{2}}{6}$

por **LuizAquino** » Qua Mar 09, 2011 10:43

Adriano Tavares escreveu: $y-y_0=y'(x-x_0) \Rightarrow y=-\frac{5}{3}\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Correção:
$y-y_0=y'(x-x_0) \Rightarrow y=-\frac{5}{3}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$

por **Adriano Tavares** » Qua Mar 09, 2011 21:56

Olá,LuizAquino.

Creio que não há erro nessa primeira correção,isso porque eu já coloquei o valor direto do resultado da $tg45^\circ$ que é igual a

.Note que no meu cálculo aperece o $sen45^\circ$ e no seu apenas o valor do $cos45^\circ$ .Quanto a segunda sim,pois, faltou atenção minha na hora de substituir o valor de x_0

.Eu substitui o valor de x_0

pelo $cos\frac{\pi}{4}$ .

Um abraço!

por **LuizAquino** » Qua Mar 09, 2011 22:03

Olá Adriano Tavares,

Eu atualizei a mensagem removendo essa primeira "correção".

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