Aritmética Elementar

por **Abelardo** » Seg Mar 07, 2011 00:36

(PUC - RJ) Para a, b e c distintos, o valor da expressão $\frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-a)(b-c)} +\frac{1}{(c-a)(c-b)}$ é:
a) a + b + c
b) sempre zero
c) a.b.c
d) 3(a + b + c)
e) $\frac{1}{a+b+c}$

por **Renato_RJ** » Seg Mar 07, 2011 16:18

Abelardo, eu fiz o mmc e depois simplifiquei a expressão e cheguei no seguinte :

$\frac{c -b + a - c + b - a}{(a - b) \cdot (b - c) \cdot (c - a)}$

Essa expressão resulta em zero, por isso eu acho que a resposta seja a letra b..

por **Abelardo** » Seg Mar 07, 2011 18:34

vc considerou que (a - b) é igual a (b - a)? não consegui simplificá-lo..

por **Renato_RJ** » Seg Mar 07, 2011 19:00

Abelardo escreveu:vc considerou que (a - b) é igual a (b - a)? não consegui simplificá-lo..

Não os considerei iguais, apenas tive um trabalho gigantesco em desenvolver todo o polinômio e cancelar os termos simétricos, depois simplifiquei o que sobrou...

por **LuizAquino** » Ter Mar 08, 2011 10:15

Sugestão
A questão fica extremamente simples se primeiro arrumarmos os denominadores antes de tirar o m.m.c.:
$\frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-a)(b-c)} +\frac{1}{(c-a)(c-b)} =$

$= \frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{[(-1)(a-b)][(-1)(c-b)]} +\frac{1}{[(-1)(a-c)](c-b)}$

$= \frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(a-b)(c-b)} - \frac{1}{(a-c)(c-b)}$

$= \frac{(c-b) + (a-c) - (a-b)}{(a-b)(a-c)(c-b)} = 0$

por **Abelardo** » Ter Mar 08, 2011 12:02

Que técnica legal essa, nunca pensei em multiplicar por -1! Mais uma técnica. Obrigado Aquino

por **Abelardo** » Dom Mai 08, 2011 16:37

Desculpe-me profº Luiz Aquino por revirar uma questão antiga, mas fiquei com uma dúvida (Em outro fórum um amigo postou a mesma questão e apresentei a sua resolução e dei todos os créditos ao senhor, é óbvio).
Poderíamos dar valores para ''a'',''b'' e ''c'' ? Se sim, poderiam ser, respectivamente, 5, 4 e 3?

Não sei se posso fazer essa ''substituição'', mas substituindo mesmo assim encontrei valores diferentes -->

$\frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-a)(b-c)} +\frac{1}{(c-a)(c-b)}$ (encontrei zero)

$\frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(a-b)(c-b)} - \frac{1}{(a-c)(c-b)}$ (encontrei - 1)

por **LuizAquino** » Dom Mai 08, 2011 17:29

Você pode substituir a, b e c por qualquer valor real, desde que eles sejam todos distintos.

Para a=5, b=4 e c=3 temos:

(i) $\frac{1}{(5-4)(5-3)} + \frac{1}{(4-5)(4-3)} +\frac{1}{(3-5)(3-4)} = \frac{1}{(1)(2)} + \frac{1}{(-1)(1)} +\frac{1}{(-2)(-1)}$ $= \frac{1}{2} - 1 +\frac{1}{2} = 0$

(ii) $\frac{1}{(5-4)(5-3)} + \frac{1}{(5-4)(3-4)} - \frac{1}{(5-3)(3-4)} = \frac{1}{(1)(2)} + \frac{1}{(1)(-1)} - \frac{1}{(2)(-1)}$ $= \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = 0$

Em ambos os casos, como era de se esperar, o valor final é 0.