Questão sobre limites

por **Paulod22** » Seg Mar 07, 2011 01:18

Boa noite a todos.
Estou tento problemas para resolver uma questão sobre limites. Eu faço, só que resposta não bate com a do gabarito, e eu não sei onde estou errando...
Aqui está a questão:

$\lim_{\ x\to+\infty}\sqrt{{x}^{2}+6x}-x} = \lim_{\ x\to+\infty}\sqrt{\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}} + \frac{6x}{{x}^{2}} }-\frac{x}{{x}} } = \sqrt{1 + 0} -1 = 0$

A resposta do gabarito é 3.
O método que eu utilizei foi dividir por x, mas pelo jeito não deu certo.
Obrigado desde já!

por **LuizAquino** » Seg Mar 07, 2011 10:22

Paulod22 escreveu:Boa noite a todos.
$\lim_{\ x\to+\infty}\sqrt{{x}^{2}+6x}-x} = \lim_{\ x\to+\infty}\sqrt{\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}} + \frac{6x}{{x}^{2}} }-\frac{x}{{x}} } = \sqrt{1 + 0} -1 = 0$

A resposta do gabarito é 3.
O método que eu utilizei foi dividir por x, mas pelo jeito não deu certo.

Se você apenas divide por x, então você alterou a expressão que você tinha antes. Você deveria dividir e multiplicar por x para que a expressão não se altere.

Por exemplo, se x não é zero, então $x+ 4 = \frac{x(x+4)}{x}$ . Mas, $x+4 \neq \frac{x+4}{x}$ (exceto para x=1 ou x=-4).

De qualquer modo, para esse limite você deveria começar multiplicando e dividindo por $\sqrt{{x}^{2}+6x}+x$ . Tente fazer e poste aqui a sua solução.

por **Paulod22** » Seg Mar 07, 2011 12:10

Eu tentei dividir por x porque assim facilitaria a resolução, pois a maioria dos termos iriam tender a zero.
Eu só não entendi a parte de "alterar a expressão". O que eu fiz não foi bem o que você mostrou no exemplo.
No meu caso estava assim:

$\left( x+4\right) - \left( x+4\right)=0$

E eu fiz isso:

$\left(\frac{x+4}{x} \right) - \left(\frac{x+4}{x} \right) = 0$

Se você atribuir um valor a x (4 por exemplo), você verá que continuará dando zero.

Mas tentarei pelo jeito que você falou, e postarei o resultado.

por **LuizAquino** » Seg Mar 07, 2011 12:54

Paulod22 escreveu:Eu só não entendi a parte de "alterar a expressão".

Para qualquer x não nulo (diferente de 1 e de -4) que você escolha, a expressão x+4 tem valor diferente da expressão $\frac{x+4}{x}$ .

Por outro lado, para qualquer x não nulo que você escolha, a expressão x+4 tem valor igual a expressão $\frac{x(x+4)}{x}$ .

Paulod22 escreveu:O que eu fiz não foi bem o que você mostrou no exemplo.
No meu caso estava assim:

$\left( x+4\right) - \left( x+4\right)=0$

E eu fiz isso:

$\left(\frac{x+4}{x} \right) - \left(\frac{x+4}{x} \right) = 0$

Errado! O cálculo de um limite é uma coisa e achar a solução de uma equação é outra coisa!

Além disso, note que:
As equações x+4 = 0

e $\frac{x+4}{x} = 0$ possuem a mesma solução: x=-4.

Já as equações 2x+4 = 1

e $\frac{2x+4}{x} = 1$ possuem soluções distintas!

No primeiro caso as equações foram equivalentes devido ao fato do segundo membro ser apenas o zero. Portanto, ao dividirmos toda a equação por x o segundo membro continua igual a 0.

por **Paulod22** » Ter Mar 08, 2011 01:28

Fiz do jeito que você falou, multipliquei e dividi pelo conjugado.

$\lim_{\ x\to+\infty} \left( \frac{\sqrt{{x}^{2}+6x}-x}{\sqrt{{x}^{2}+6x}+x} \right) . \sqrt{{x}^{2}+6x}+x = \left( \frac{{x}^{2} + 6x - x^2} {\sqrt{{x}^{2}+6x}+x} \right) =$

Dividindo tudo por x:

$\lim_{\ x\to+\infty} \frac{\frac{6x}{x}}{\sqrt{ \frac{{x}^{2}}{x^2}+ \frac{6x}{x^2}}+ \frac{x}{x}}$ = $\frac{6}{\sqrt{1} + 1} = \frac{6}{2} = 3$

E deu certo. Muito obrigado pela ajuda!

Mas ainda tenho dúvida quanto à divisão. Quero entender direito para não errar mais nisso.

Pelo que eu pude perceber, se eu dividir tudo por x eu estarei alterando a equação.

Então, a resolução do limite abaixo também está errada? (Esse limite ai eu tinha resolvido anteriormente, mas como o resultado bateu eu nem desconfiei que tava errado

)

$\lim_{\ x\to+\infty} cos\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x} \right) = \sqrt{\left( \frac{x}{x} \right) + \left( \frac{2}{x} \right)} - \sqrt{\frac{x}{x}} = cos \left(\sqrt{1} - \sqrt{1} \right) = 1$

por **LuizAquino** » Ter Mar 08, 2011 09:27

Paulod22 escreveu:Fiz do jeito que você falou, multipliquei e dividi pelo conjugado.

$\lim_{\ x\to+\infty} \left( \frac{\sqrt{{x}^{2}+6x}-x}{\sqrt{{x}^{2}+6x}+x} \right) . \sqrt{{x}^{2}+6x}+x = \left( \frac{{x}^{2} + 6x - x^2} {\sqrt{{x}^{2}+6x}+x} \right) =$

Dividindo tudo por x:

$\lim_{\ x\to+\infty} \frac{\frac{6x}{x}}{\sqrt{ \frac{{x}^{2}}{x^2}+ \frac{6x}{x^2}}+ \frac{x}{x}}$ = $\frac{6}{\sqrt{1} + 1} = \frac{6}{2} = 3$

Apenas uma correção. No desenvolvimento de um limite você sempre deve escrever a notação "lim" em cada passo, exceto no último quando o limite é calculado. Isto é, ao invés de escrever $\lim_{\ x\to+\infty} \left( \frac{\sqrt{{x}^{2}+6x}-x}{\sqrt{{x}^{2}+6x}+x} \right) \cdot \sqrt{{x}^{2}+6x}+x = \left( \frac{{x}^{2} + 6x - x^2} {\sqrt{{x}^{2}+6x}+x} \right)$ você deve escrever $\lim_{\ x\to+\infty} \left( \frac{\sqrt{{x}^{2}+6x}-x}{\sqrt{{x}^{2}+6x}+x} \right) \cdot \sqrt{{x}^{2}+6x}+x = \lim_{x\to +\infty} \left( \frac{{x}^{2} + 6x - x^2} {\sqrt{{x}^{2}+6x}+x} \right)$ .

Paulod22 escreveu:Mas ainda tenho dúvida quanto à divisão. Quero entender direito para não errar mais nisso.

Pelo que eu pude perceber, se eu dividir tudo por x eu estarei alterando a equação.

Então, a resolução do limite abaixo também está errada? (Esse limite ai eu tinha resolvido anteriormente, mas como o resultado bateu eu nem desconfiei que tava errado )

$\lim_{\ x\to+\infty} \cos\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x} \right) = \sqrt{\left( \frac{x}{x} \right) + \left( \frac{2}{x} \right)} - \sqrt{\frac{x}{x}} = \cos \left(\sqrt{1} - \sqrt{1} \right) = 1$

Sim, está errada. Foi apenas uma mera coincidência você ter obtido a reposta correta. Perceba como no exemplo anterior você usou a mesma estratégia e havia chegado na reposta errada do exercício. Além disso, novamente você não usou a notação adequada em cada passo.

Vejamos a solução correta.

Como o cosseno é uma função contínua em todo o seu domínio, podemos "retirá-la" do limite. Além disso, vamos multiplicar e dividir a expressão no limite por $\sqrt{x+2}+\sqrt{x}$ .

$\lim_{\ x\to+\infty} \cos\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x} \right) = \cos\left( \lim_{\ x\to+\infty} \frac{(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})(\sqrt{x+2}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}} \right)$

Após aplicar o produto notável no numerador, nós dividimos tanto o numerador quanto o denominador por $\sqrt{x}$ . Após as simplificações, ficamos com:

$= \cos\left( \lim_{\ x\to+\infty} \frac{\frac{2}{\sqrt {x} }}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1} \right)$

$= \cos\left( \frac{0}{\sqrt{1+0}+1} \right) = \cos(0) = 1$

É interessante destacar que nesse exercício se tivéssemos dividido o numerador e o denominador por x ao invés de $\sqrt{x}$ , não poderíamos resolver o limite, pois teríamos uma indeterminação do tipo 0/0. Veja como ficaria:
$\cos\left( \lim_{\ x\to+\infty} \frac{\frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{\frac{1}{x^2}}} \right)$