Determinação de divisores

por **Abelardo** » Seg Mar 07, 2011 00:50

(PUC-RJ) Ache dois divisores diferentes, entre 60 e 70, do número ${2}^{48}-1$ .

Estou estudando sobre números primos e há um tópico especial falando sobre os ''números de Mersenne''. Como o a base é 2, o seu resultado é par, mas tem a subtração que o torna um número impar..
pensei em fatorá-lo, mas não vi como. Pensei em um produto notável, mas não tem ''futuro prático'', ficaria inúmeros fatores.

por **Renato_RJ** » Seg Mar 07, 2011 15:33

Boa tarde Abelardo..

Vou dar uma dica:

$x^2 - 1 = (x - 1) \cdot (x + 1)$

Olha o que aconteceu com a potência de x....

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Renato.

por **Abelardo** » Seg Mar 07, 2011 18:47

sei que é dividido por dois quando desenvolvemos a diferença de dois quadrados... mas e a partir dai, devo continuar com o desenvolvimento de ( $({2}^{24} -1)$ ?

por **Renato_RJ** » Seg Mar 07, 2011 18:57

Boa tarde Abelardo, vamos lá...

$(2^6 - 1) \cdot (2^6 + 1) = (2^{12} - 1) \Rightarrow \, (2^{12} - 1) \cdot (2^{12} + 1) = (2^{24} - 1) \Rightarrow \, (2^{24} - 1) \cdot (2^{24} +1 ) = (2^{48} - 1)$

Arrumando tudo temos:

$(2^{48} - 1) = (2^6 - 1) \cdot (2^6 + 1) \cdot (2^{12} + 1) \cdot (2^{24} + 1)$

Como 2^6 = 64

sabemos que os dois divisores que se encontram no intervalo dado só podem ser (2^6 - 1) = 63

e

.

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Renato.

por **Abelardo** » Seg Mar 07, 2011 20:14

Valeu Renate, você sempre respondendo as minhas perguntas! Brigadão mesmo..
Consegui chegar a solução, incrivelmente (pelo menos para mim) enquanto ia comprar o pão e estava andando de bicicleta.. lembrei da fórmula para números ímpares e de que entre um par há dois primos. Já que a expressão dada é um número ímpar, então entre 60 e 70 tenho 64 como potência de 2, logo posso ter 64+1=65(ímpar) e 64-1=63(ímpar).

Valeu cara!