Limite infinito

por **VFernandes** » Sex Mar 04, 2011 17:13

Oi, pessoal,
Estou fazendo Cálculo I e estou tendo dificuldade no conceito de limite infinito nos seguintes problemas:
$\lim_{0+}\frac{sen(x)}{x^3-x^2}$ (resposta: - $\infty$ )
Primeiramente, abri a expressão e apliquei o limite trigonométrico fundamental:
$\lim_{0+}\frac{sen(x)}{x(x^2-x)} = \lim_{0+}\frac{1}{x^2-x}$
Daí, apliquei as propriedades operatórias dos limites:
$\lim_{0+}\frac{1}{x(x-1)} = \lim_{0+}\frac{1}{x}\times\lim_{0+}\frac{1}{x-1}$
Resolvendo (acredito que o erro está aqui):
$\lim_{0+}\frac{1}{x}\times\lim_{0+}\frac{1}{x-1} = \infty\times-1$ Seria muita inocência imaginar que infinito multiplicado por -1 daria $-\infty$ , que é a resposta?

O outro, se não se importarem:
$\lim_{0}\frac{sen^3(x)sen(1/x)}{x^2}$ (resposta: 0)
Desenvolvi, rumo ao limite trigonométrico fundamental e multipliquei por x/x:
$\lim_{0}\frac{sen^3(x)sen(1/x)x}{x^3} = \lim_{0}\frac{sen(1/x)x}{1}$
Daí, separando os limites temos que o limite de "x" é zero:
$\lim_{0}sen(1/x)\times0$
Novamente, seria muita inocência imaginar que infinito multiplicado por zero dá zero?

Ufa, agradeceria qualquer luz que algum amigo puder dar.

por **Elcioschin** » Sex Mar 04, 2011 18:42

O 1º está certo: oo*(-1) = - oo

Quanto ao segundo

limite sen(1/x) ----> sen(oo) não é oo ----> - 1 =< seno =< 1 ----> O seno pode ser qualquer valor neste intervalo (inclusive 0)
x-->0

Logo ----> sen(oo)*0 = 0

por **LuizAquino** » Sex Mar 04, 2011 19:01

VFernandes escreveu:Estou fazendo Cálculo I e estou tendo dificuldade no conceito de limite infinito nos seguintes problemas:

Recomendo que leia o tópico:
Aulas de Matemática no YouTube
viewtopic.php?f=120&t=3818

VFernandes escreveu:Seria muita inocência imaginar que infinito multiplicado por -1 daria $-\infty$ , que é a resposta?

Novamente, seria muita inocência imaginar que infinito multiplicado por zero dá zero?

Quando estamos trabalhando com o conceito de infinito nos limites, então é válido que: $k \cdot (+\infty) = \begin{cases} +\infty\textrm{, se } k > 0 \\ -\infty\textrm{, se } k < 0\end{cases}$ , sendo k uma constante.

Quando tivermos k=0 temos uma indeterminação. O exemplo mais claro disso é o limite trigonométrico fundamental:
$\lim_{x\to 0^+} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0^+} \sin x \cdot \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = 1$ , mas $\lim_{x\to 0^+} \sin x = 0$ e $\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ .

Note que nesse limite temos algo do tipo $0\cdot (+\infty)$ , porém o resultado é 1.

Nos exercícios que você postou, o correto seria você fazer algo como o descrito a seguir.

Exercício 1
$\lim_{x\to 0+}\frac{\sin (x)}{x^3-x^2} = \lim_{x\to 0+}\frac{\sin (x)}{x} \cdot \lim_{x\to 0+}\frac{1}{x(x - 1)} = 1\cdot (- \infty) = -\infty$

Note que no segundo limite aparece x(x - 1) no denominador. Quando x aproxima-se de 0 pela direita (isto é, x tem valores bem próximos de zero, porém maiores do que ele), o valor do fator x é positivo, mas o valor do fator (x-1) é negativo. Portanto, o produto x(x-1) é negativo e próximo de zero. Já que o numerador é constante, o segundo limite será então $-\infty$ .

Exercício 2
$\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin^3(x)\sin\left(\frac{1}{x}\right)x}{x^3} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}$

Fazendo a mudança de variável u = 1/x, nós temos que
$\lim_{u\to +\infty}\frac{\sin u}{u} = \lim_{u\to +\infty}\sin u \cdot \frac{1}{u}$

Como $\sin u$ é uma função limitada e $\lim_{u\to +\infty} \frac{1}{u} = 0$ , então $\lim_{u\to +\infty}\frac{\sin u}{u} = 0$ .

por **VFernandes** » Sex Mar 04, 2011 19:43

Obrigado, gente.
Estou pegando a idéia agora.

LuizAquino escreveu:Exercício 2
$\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin^3(x)\sin\left(\frac{1}{x}\right)x}{x^3} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}$

Fazendo a mudança de variável u = 1/x, nós temos que
$\lim_{u\to +\infty}\frac{\sin u}{u} = \lim_{u\to +\infty}\sin u \cdot \frac{1}{u}$

Como $\sin u$ é uma função limitada e $\lim_{u\to +\infty} \frac{1}{u} = 0$ , então $\lim_{u\to +\infty}\frac{\sin u}{u} = 0$ .

Você colocou como sendo limite lateral (de zero pela direita), mas no caso, não seria o limite total? (Pelo menos na lista está como limite total)
Sendo assim, tem certeza que essa mudança de variável pode ser feita?
Se x-> 0 => 1/x -> +oo pela direita, mas pela esquerda, tende para -oo, não é?

por **LuizAquino** » Sex Mar 04, 2011 21:48

VFernandes escreveu:Você colocou como sendo limite lateral (de zero pela direita), mas no caso, não seria o limite total? (Pelo menos na lista está como limite total)

Pode ser o limite total, mas nesse caso temos que analisar separadamente pela esquerda e pela direita.

VFernandes escreveu:Sendo assim, tem certeza que essa mudança de variável pode ser feita?

No caso que fiz anteriormente pode ser feita desde que analisemos pela direita.

Pela esquerda ficaria:

$\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin^3(x)\sin\left(\frac{1}{x}\right)x}{x^3} = \lim_{x\to 0^-}\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{u \to -\infty}\frac{\sin(u)}{u} = 0$

Novamente, foi feita a substituição u=1/x. Além disso, foi usado o fato de que $\sin u$ é uma função limitada e $\lim_{u\to -\infty} \frac{1}{u} = 0$ .

Usando os limites laterais que calculamos, podemos dizer que:
$\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = 0 \Rightarrow \lim_{x\to 0}\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = 0$

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