como calcular areas de superficie?

por **Isla** » Qua Fev 23, 2011 00:20

como faço para calcular a area a superficie,que é obtida pela revolução do grafico da função dada num intervalo de:

$f(x)=\frac{{x}^{2}}{2}$ no intervalo $\left|0,2 \right|$

e se função for ;

f(x)=senx

no intervalo $\left|0,\frac{\pi}{2} \right|$

Ajude-me a entender essas questões.
Desde de já obrigada!

por **LuizAquino** » Qua Fev 23, 2011 09:07

Se você consultar qualquer livro de cálculo falando sobre aplicações de integral (vide [1], por exemplo), você encontrará a fórmula (e muitas vezes a demostração para ela):

$A = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+[f^\prime(x)]^2}\,dx$ ,

que calcula a área do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico de f(x) no intervalo [a, b].

Calcular a área da superfície dada por:
1) Rotação de $f(x)=\frac{{x}^{2}}{2}$ em torno do eixo x no intervalo [0, 2].
2) Rotação de $f(x)=\sin x$ em torno do eixo x no intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ .

Nesses exercícios bastaria você calcular:
1) $A = 2\pi\int_0^2 \frac{x^2}{2}\sqrt{1+x^2}\,dx$

2) $A = 2\pi\int_0^\frac{\pi}{2} \sin x\sqrt{1+\cos^2 x}\,dx = 2\pi\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2 x \,dx$

Agora é só aplicar as técnicas de integração apropriadas para resolver o exercício. Na primeira integral, você vai precisar fazer a substituição trigonométrica $x = \tan \theta$ . Já na segunda, você vai precisar usar a identidade $\sin^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))$ .

Referência
[1] Cabral, Marco A. P.. Curso de Cálculo de Uma Variável. 2010. Disponível em: http://www.labma.ufrj.br/~mcabral/livros/index.html

por **Isla** » Qui Fev 24, 2011 22:14

Isla escreveu:como faço para calcular a area a superficie,que é obtida pela revolução do grafico da função dada num intervalo de:

$f(x)=\frac{{x}^{2}}{2}$ no intervalo $\left|0,2 \right|$

e se função for ;

no intervalo $\left|0,\frac{\pi}{2} \right|$

Ajude-me a entender essas questões.
Desde de já obrigada!

Luiz, segui suas orientações, não sei se estou indo bem.
a)

Por favor me ajude a concluir meu raciocinio:
$\int\frac{{x}^{2}}{2\sqrt[]{1+{x}^{2}}}$ $=(\frac{{sen}^{-1})-x\sqrt[]{{(x}^{2}+1})}{4+c}$ $\int_{0}^{2}\frac{{x}^{2}}{2\sqrt[]{(1+{x}^{2})}}=\frac{{sen}^{-1}-2\sqrt[]{{2}^{2}+1}}{4}$

E agora vou para onde?
Estou no caminho correto?

por **LuizAquino** » Qui Fev 24, 2011 23:52

Isla escreveu:Por favor me ajude a concluir meu raciocinio:
$\int\frac{{x}^{2}}{2\sqrt[]{1+{x}^{2}}}=(\frac{{sen}^{-1})-x\sqrt[]{{(x}^{2}+1})}{4+c}\int_{0}^{2}\frac{{x}^{2}}{2\sqrt[]{(1+{x}^{2})}}=\frac{{sen}^{-1}-2\sqrt[]{{2}^{2}+1}}{4}$

E agora vou para onde?
Estou no caminho correto?

Primeiro, o que você escreveu não faz sentido! Por favor, procure ter mais cuidado com o LaTeX! Se tiver dificuldades, use o "Editor de Fórmulas" disponível aqui no fórum.

Como falei, essa integral sai por substituição trigonométrica. Você deve estudar a técnica para poder entender a solução.

De qualquer modo, vou lher dar uma dica. Você pode ver a solução para essa integral na página:
http://www.wolframalpha.com/

Ao abrir a página, você deve ver uma imagem como esta abaixo.

Digite no campo de entrada o seguinte comando: integrate(x^2*sqrt(1+x^2))

Isso irá calcular, como esperado, a integral $\int x^2\sqrt{1+x^2} \, dx$ .

Na próxima página que abrirá, você deve ver algo como a janela abaixo.

Clique no botão "Show steps".

Agora é só estudar a solução.

Observação
Vale a pena destacar que você deve usar essa página como uma ferramenta de aprendizado e não como uma muleta! Por isso é fundamental que você estude as técnicas de integração. Até porque, sem esse estudo muito provavelmente você não entenderá a solução.

por **LuizAquino** » Qui Fev 24, 2011 23:56

(...)

por **LuizAquino** » Sex Fev 25, 2011 00:02

LuizAquino escreveu:2) $A = 2\pi\int_0^\frac{\pi}{2} \sin x\sqrt{1+\cos^2 x}\,dx = 2\pi\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2 x \,dx$

Correção:
Eu não poderia ter simplificado dessa maneira, pois $1+\cos^2 x \neq \sin^2 x$ . Na verdade, sabemos que a relação correta é $1-\cos^2 x = \sin^2 x$ .

A integral sairá primeiro fazendo a substituição $u = \cos x$ . Em seguida, será necessário usar a substituição trigonométrica $u=\tan \theta$ .

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