Geometria Plana - medição da circunferência

[claudia]

Boa tarde, Fábio
Estou com dúvida em algumas questões de geometria. Poderia me dar umas dicas??
1. Qual a razão entre os comprimentos das circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado?
sei que o lado do quadrado tem medida e qua a apótema do quadrado é e que esta é a mesma medida do raio da menor circunferência. É por aí?

2. Se aumentarmos o comprimento de uma circunferência de 4cm, quanto aumentará o seu raio, em centímetros?
não sei por onde começar.

[admin]

Olá Cláudia!

Sobre a 1ª, é por aí sim.
As medidas do lado e do apótema estão corretas!

Estou considerando a seguinte nomeação:
: raio da circunferência circunscrita
: raio da circunferência inscrita
: comprimento da circunferência circunscrita
: comprimento da circunferência inscrita

Note que o apótema é o próprio .

Então, basta calcular:

[admin]

Para a 2ª, comece representando as expressões para os comprimentos, sendo:

: comprimento inicial da circunferência
: raio inicial da circunferência
: comprimento final da circunferência
: raio final da circunferência






Como:




Tente terminar, deixando em função de .
Dica: não se preocupe em racionalizar as frações!

Bons estudos!

[claudia]

Boa Tarde Fábio
Obrigada pelas dicas, deram certo.
Tenho mais duas dúvidas sobre o assunto:
1. AB é um arco da circunferência de centro O, com raio igual à medida da corda AP, A, O e B são colineares. A razão entre o comprimento de AB e o da poligonal APOB é x. Qual o valor de x? (figura 1)
Sei que C= 2R e que . Cada medida de AP, AO, PO e OB tem o mesmo valor:r; então APOB = 3r. Se eu fizer não daria a resposta: 1<x. O que fiz errado?

2. Calcule o comprimento da circunferência inscrita num quadrante de círculo de raio 2.
(figura 2)
Tenho como achar o comprimento da circunferência maior: , mas não sei como relacioná-los ou achar o raio da menor.

[admin]

Olá Cláudia, boa tarde!

Por favor, ao enviar somente imagens, evite o formato .DOC, mas sim .JPG ou .GIF para que elas apareçam diretamente:

Percebi que você está criando as figuras no próprio Word, tudo bem.
Mas como alternativa, quando as figuras estiverem prontas na tela, você pode utilizar a tecla "Print Screen" para copiar a imagem atual para a área de transferência, abrir seu editor de imagens favorito e colar. Recorte os trechos da figura, cole em nova imagem e salve como .JPG, por exemplo.

1) Apenas confira o valor que você estabeleceu para o arco AB;

2) Tente destacar alguns raios "interessantes" e um triângulo retângulo.
Inclusive, esta tática é muito comum em exercícios de geometria plana, ou seja, construir elementos implícitos óbvios da figura enquanto pensamos, buscar novos triângulos retângulos (com o intuito de aplicar o teorema de Pitágoras) ou outros triângulos semelhantes.

Até mais!

[claudia]

Olá Fábio!
Não sou muito boa em informática, mas vou tentar fazer o que disse.
Com relação as questões, desta vez não consegui entender suas dicas. Será que poderia acrescentar algo?

[admin]

Olá Cláudia!

1)

O que fiz errado?

A medida do arco AB.


2) Construiu raios da circunferência inscrita?
Também, construa outro raio 2 para formar um triângulo retângulo...

[claudia]

Eu entendi que o arco AB está errado, mas não sei como achar a medida correta.

[admin]

Eu entendi que o arco AB está errado, mas não sei como achar a medida correta.

Qual o perímetro de uma circunferência de raio ?
Qual a medida do arco ?

[claudia]

OK!
Valeu!

[claudia]

Fábio,
a 2ª questão ainda não consegui. Tracei outro raio 2 e raios na circunferência inscrita, formando o triângulo retângulo, mas não sei nenhuma medida dele, já que sua base não é a metade de 2.

[admin]

Cláudia, consegue enviar esta nova figura formada com suas construções?
Caso você tenha construído o mesmo triângulo retângulo que eu imagino, sabemos as medidas dos lados em função do raio da circunferência inscrita. E por Pitágoras encontramos este raio.

[claudia]

Ainda não consegui aprender como mando a figura do jeito que você falou, mas estou enviando como as outras. Prometo aprender logo! Obrigada!

[claudia]

Esqueci a figura!!

[admin]

Cláudia, esta foi a figura enviada:

circunferencia3.jpg (6.35 KiB) Exibido 21373 vezes

Foi praticamente a mesma construção que imaginei, mas não coloquei o cateto do triângulo maior, não convém pois não temos informações sobre ele.

Pense apenas no triângulo retângulo menor formado.
O que você sabe sobre as medidas dos lados?

Para facilitar, construa outro raio da circunferência inscrita.
Ainda melhor do que utilizar Pitágoras, será considerar o quadrado formado de lado .
Pensando na diagonal do quadrado, apenas uma equação do primeiro grau resolve o problema.

[claudia]

Sei que os catetos têm a mesma medida r, mas não sei o valor da hipotenusa.

[claudia]

Acho que descobri: seria 2-r?

[admin]

Exatamente, a hipotenusa é , pensando pela diferença das medidas.

Agora, há duas alternativas para encontrar .
Uma, aplicando diretamente o teorema de Pitágoras para este triângulo e resolvendo uma equação de segundo grau.
Mas a outra que comentei é mais simples, pois também é a medida da diagonal do quadrado de lado (equação de primeiro grau ).

[claudia]

Consegui!!!
Obrigada!!!

[admin]

Por nada!
Desculpe a "economia" nas dicas, mas preferi assim senão ficaria muito simples e você perderia o mérito da resolução.

Fica aquela recomendação: sempre acrescente na construção algo óbvio que está implícito, por exemplo, raios! "Veja" triângulos retângulos, procure-os! Depois, use semelhanças ou Pitágoras.

Bons estudos!